Достатні умови екстремуму

ТЕОРЕМА (перше правило). Якщо похідна функції f ' ( x )

при переході через критичну точку x₀ зліва направо змінює знак з “+”на “-“, то f ( x ) має максимум в точці x₀ , якщо зміна

знаку відбувається з “-“ на “+”, то функція має мінімум в цій точці.Відсутність зміни знаку вказує на відсутність екстремуму.

Доведення.	Якщо похідна	f ' ( x ) при переході через точку
x = x₀	змінює знак з “+”на “-“, то це означає, що при досить мало-
му х	похідна	f ' ( x ) додатня на проміжку ( x₀ −	x , x₀ ) і
від’ємна на проміжку ( x₀, x₀ +	x ). Отже,функція f ( x )	зростає
на проміжку ( x₀ − x , x₀) і спадає на проміжку ( x₀, x₀ +	x ),тоб-
то в точці x₀ досягає максимуму.
	Аналогічно доводиться твердження теореми відносно
мінімуму функції.

ТЕОРЕМА.(друге правило).Якщо в точці x₀ перша похідна f′(x) функції f(x) дорівнює нулю,а її друга похідна f″(x) непере-рвна в околі цієї точки і f″(x)≠0, то функція f(x) має максимум в точці x₀, коли f '' ( x₀ )<0 і мінімум , коли

f '' ( x₀ ) > 0.
Доведення. Нехай	f ' ( x₀ ) = 0 і	f '' ( x₀ ) > 0. Тоді внаслідок
неперервності	f '' ( x )	вона	додатня	в	малому	інтервалі
( x₀ − x , x₀ +	х ). Це означає,що f ' ( x ) ,для якої f '' ( x ) є похід-
ною, зростає в цьому інтервалі. Оскільки	f ' ( x₀ ) = 0 ,то на проміж-
ку ( x₀ −	x , x₀ ) похідна	f ' ( x ) < 0 ,	а на проміжку ( x₀, x₀ + x )
похідна	f ' ( x ) > 0.
Тому f ( x ) в інтервалі	( x₀ −	x , x₀ )	спадає, а в інтервалі
( x₀ , x₀ +	x )	зростає. Значить,	в точці x₀	функція f ( x )	має міні-
мум.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Обхідні умови екстремуму.	\|	Аналогічно доводиться достатність умови існування максимуму.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.013 сек.