ТЕОРЕМА (перше правило). Якщо похідна функції f ' ( x )
при переході через критичну точку x0 зліва направо змінює знак з “+”на “-“, то f ( x ) має максимум в точці x0 , якщо зміна
знаку відбувається з “-“ на “+”, то функція має мінімум в цій точці.Відсутність зміни знаку вказує на відсутність екстремуму.
Доведення.
Якщо похідна
f ' ( x ) при переході через точку
x = x0
змінює знак з “+”на “-“, то це означає, що при досить мало-
му х
похідна
f ' ( x ) додатня на проміжку ( x0 −
x , x0 ) і
від’ємна на проміжку ( x0, x0 +
x ). Отже,функція f ( x )
зростає
на проміжку ( x0 − x , x0) і спадає на проміжку ( x0, x0 +
x ),тоб-
то в точці x0 досягає максимуму.
Аналогічно доводиться твердження теореми відносно
мінімуму функції.
ТЕОРЕМА.(друге правило).Якщо в точці x0 перша похідна f′(x) функції f(x) дорівнює нулю,а її друга похідна f″(x) непере-рвна в околі цієї точки і f″(x)≠0, то функція f(x) має максимум в точці x0, коли f '' ( x0 )<0 і мінімум , коли
f '' ( x0 ) > 0.
Доведення. Нехай
f ' ( x0 ) = 0 і
f '' ( x0 ) > 0. Тоді внаслідок
неперервності
f '' ( x )
вона
додатня
в
малому
інтервалі
( x0 − x , x0 +
х ). Це означає,що f ' ( x ) ,для якої f '' ( x ) є похід-