Обхідні умови екстремуму.
ТЕОРЕМА.(необхідна умова екстремуму).
Якщо функція f ( x ) має в точці x0
| екстремум, то її похі-
| дна в цій точці дорівнює нулю, або не існує.
|
| Доведення. Нехай в точці
| x0 функція
| f ( x ) має похідну і
| досягає максимуму. Це означає,
| що при достатньо малому х
| | | |
маємо
| f ( x0 + x ) ≤ f ( x0 ).
| З цього
| випливає, що відношення
|
|
| f ( x0
| + x ) − f ( x0 )
| ≥ 0 , якщо
| x < 0
| і
| f ( x0 + x ) − f ( x0
| )
| ≤ 0 ,
|
|
|
| x
| x
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| якщо
| x > 0. Переходячи в нерівностях до границі,дістанемо
|
|
|
| f ' ( x0 ) ≥ 0 і f ' ( x0 ) ≤ 0.
А це може одночасно виконуватись тільки при f ' ( x0) = 0.
Аналогічно доводиться перша частина теореми у випадку, ко-ли функція f ( x ) досягає в точці x0 мінімуму.
Але неперервна функція f ( x ) може мати екстремум в точ-ках, в яких похідна не існує. Наприклад, функція y = x в точці
x = 0 не диференційована,але досягає в ній мінімуму,що видно зграфіка (мал.3).
Такі точки називають кутовими. Але ці умови не є достатніми. Похідна може дорівнювати нулю не тільки в точках екстремуму.
Так похідна функції y = x3 є y' = 3 x2 . В точці x = 0 y' = 0 , але в
цій точці функція не досягає екстремального значення.
Точки, в яких похідна функціі дорівнює нулю або не існує на-зивають стаціонарними або критичними точками першого роду.
Читайте також: - Аналогічно доводиться достатність умови існування максимуму.
- Аналогія як умовивід
- Блок 4. Умови та охорона праці.
- Блок перевірки умови
- БУДОВА ТА УМОВИ ФОРМУВАННЯ ШАРУВАТИХ ТОВЩ
- Бюджетні запити: їх суть, необхідність складання та аналіз
- Види аудиторських висновків та умови їх надання
- Види і типи організаційних структур та умови їх ефективного застосування
- Види й типи організаційних структур та умови їх ефективного застосування
- Визначення та необхідність контролю.
- Визначення. Точки максимуму й мінімуму функції називаються точками екстремуму.
- Винесення внутрішніх, розумових дій назовні називають екстеріоризацією.
Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:
|
|