З означення дробу і означення дії додавання невід’ємних раціональних чисел та закону існування суми і добутку натуральних чисел випливає, що дія додавання дробових чисел завжди здійсненна, тобто, що сума невід’ємних раціональних чисел завжди існує і є число невід’ємне і раціональне.
Наприклад. 1)
2)
У цих прикладах знайдено суму, користуючись означенням. Проте дроби і можна замінити еквівалентними їм дробами із спільним знаменником по-різному. Чи не зміниться від цього їх сума? Наприклад, дроби і простіше додати, звівши до найменшого спільного знаменника:
2) Переставний закон:
Доведення.
Беручи до уваги переставний закон додавання і множення натуральних чисел, легко зробити висновок про тотожність цих виразів.
3) Сполучний закон:
Доведення.
Ці вирази тотожно рівні. Оскільки всі перетворення еквівалентні, то і вихідна рівність є тотожністю.
Дія множення в множині невід’ємних раціональних чисел має ті самі властивості, що й множення натуральних чисел:
1) Існування і єдиність добутку: які б не були невід’ємні раціональні числа , , завжди існує невід’ємне раціональне число · , що є їх добутком, і до того ж єдине.
2) Комутативний (переставний) закон: від зміни місць співмножників значення добутку не змінюється:
Доведення. Виконаємо дії у правій і лівій частинах рівності:
Оскільки для множення цілих невід’ємних чисел має місце комутативний закон, можна зробити висновок, що ці дроби рівні.
3) Асоціативний (сполучний) закон: окремі співмножники можна сполучати в будь-які групи, а потім перемножати. Від цього значення добутку не зміниться:
4) Монотонність множення:
5) Дистрибутивний (розподільний) закон відносно додавання і віднімання: