Теорема. Якщо функція має границю в точці , то ця границя єдина.
Доведення. Припустимо, що функція має дві різні границі . Виберемо з області визначення функції довільну послідовність , збіжну до . Тоді послідовність , згідно з означенням границі функції, матиме дві різні границі , що неможливо, оскільки будь-яка збіжна послідовність має єдину границю.
Теорема. Якщо функції і мають у точці границі, то функції (при ) у точці також мають границі, причому
; (3)
; (4)
. (5)
Доведення. Нехай послідовність – довільна збіжна до послідовність значень аргументу функцій і . Тоді відповідні послідовності і збіжні й за властивостями збіжних послідовностей
;
;
(де ).
Отже, згідно з означенням границі функції мають місце співвідношення 3-5.
Теорема . Нехай функції і , визначені в деякому околі точки , крім, можливо, самої точки , мають у точці границі, й такі, що в околі точки . Тоді .
Доведення. Виберемо в околі точки довільну збіжну до послідовність . Тоді послідовності і збіжні й . Тому за відповідною властивістю збіжних послідовностей .
Звідси, за означенням границі функції в точці, .
Наслідок. Якщо в деякому околі , крім, можливо, самої точки , виконується нерівність і функція у точці має границю, то .
Теорема 3.5. Нехай функції визначені в деякому околі точки , крім, можливо, самої точки , функції мають у точці границю, рівну , тобто . Нехай, крім того, виконується нерівність . Тоді функція у точці має границю, рівну , тобто .
Доведення. Нехай – довільна збіжна до послідовність. Послідовності і відповідних значень функції збіжні, й . Оскільки , то згідно з відповідною властивістю збіжних послідовностей . Отже, за означенням границі функції в точці .
Зауваження. Наведені вище теореми про границі мають місце і для випадків .
ЛЕКЦІЯ 11
24. Визначні границі.
25. Нескінченно малі й нескінченно великі функції.
26. Порівняння нескінченно малих функцій. Еквівалентні нескінченно малі функції.