Задача про лінійну густину неоднорідного стержня. Нехай треба знайти густину неоднорідного прямолінійного стержня в точці , яка знаходиться на відстані від початкової точки (див. рис. 11).
Позначимо величину маси відрізка . Візьмемо деяку точку , яка знаходиться на відстані від початкової точки . Тоді маса відрізка буде рівною . Отже, маса відрізка , яку ми назвемо приростом маси в точці ,
.
Відношення називається середньою густиною стержня на відрізку і позначається .
Лінійною густиною стержня в точці називається границя відношення при , тобто
.
Приклад. Нехай маса стержня довжини задається формулою , де - сталі числа. Знайти лінійну густину в точці , яка знаходиться на відстані від початку стержня.
Розв'язування. Знайдемо приріст маси в точці
.
Отже,
.
Задача про дотичну до кривої. Дотичною до кривої в точці називається пряма , з якою співпадає граничне положення січної за умови, що точка по кривій прямує до точки (рис. 12).
Зазначимо, що не в кожній точці крива може мати дотичну. В точках, яких крива зазнає зламу, дотична до кривої не існує. Так, наприклад, не існують дотичні у точці кривої (рис. 13), точці кривої (рис. 14), точці кривої (рис. 15).
Розглянемо криву, яка задана в системі координат рівнянням , де неперервна функція, визначена на деякому проміжку . Поставимо задачу: знайти кутовий коефіцієнт дотичної до кривої в точці , де (рис. 16).
Візьмемо на кривій точку . Через точки проведемо січну. Нехай вона утворює з додатним напрямом осі кут . Тоді .
Якщо точка по кривій наближатиметься до точки , то координати точки наближатимуться до координат точки , тобто
.
Звідси випливає, що коли точка , то . З іншого боку, якщо , то за неперервністю функції маємо: , тобто і при цьому . Таким чином
.
Розглянуті задачі різні за своїм змістом, але вони відрізняються одним і тим способом, якщо в кожній з цих задач незалежну змінну позначити через , а залежну змінну – через , то для знаходження розв'язку кожної із них потрібно знаходити границю відношення приросту функції до приросту аргументу, за умови, що приріст аргументу прямує до нуля, тобто