Нехай в деякому проміжку визначена функція . Виберемо довільну точку і надамо приросту такого, що .
Зазначимо, що може бути як додатним, так і від'ємним. При цьому функція одержить приріст . Нехай в точці існує границя .
Похідною функції в точці називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу за умови, що приріст аргументу прямує до нуля.
Похідну функції в точці позначають так: або . Отже, за означенням
.
Якщо функція має похідну в кожній точці , то похідна є функцією віді в цьому випадку позначається так: або .
3. Механічний та геометричний зміст похідної
Механічний зміст похідної випливає із задачі про миттєву швидкість, а саме: похідна від пройденого шляху по часу дорівнює миттєвій швидкості в момент часу , тобто
.
Геометричний зміст похідної розкрито у задачі про дотичну: похідна , якщо вона існує, дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної, проведеної до графіка функції в точці з координатами , .