• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Інтегрування деяких тригонометричних функцій

Розглянемо деякі типи інтегралів від тригонометричних функцій, які обчислюються в скінченному вигляді. До них належать інтеграли від раціональних функцій відносно функцій , , , , , . Оскільки функції , , та раціонально визначаються через та , то мова піде про інтеграли виду

, (33)

де – раціональна функція від та .

Інтеграли такого виду можна звести до інтегралів від раціональної функції за допомогою так званої універсальної тригонометричної підстановки

.

Справді,

;

.

Крім того,

.

Інтеграл (33) після заміни змінної (34) набуває вигляду

, де

– раціональна функція від змінної .

Таким чином, інтеграл виду (33) завдяки підстановці (34) завжди можна обчислити в скінченому вигляді. Однак застосування підстановки (34) не завжди доцільне. В окремих випадках можна використати інші, простіші методи. Це стосується, зокрема, інтегралів виду

; (35)

, (36)

де – ціле число; та – раціональні функції від своїх аргументів.

Для обчислення інтеграла (35) застосуємо підстановку

. (37)

Матимемо

Отже,

,

де – раціональна функція від .

Аналогічно, якщо скористатися підстановкою

,

то інтеграл (36) набуває вигляду

,

де – раціональна функція від .

При обчисленні інтегралів від тригонометричних функцій часто доводиться користуватися відомими формулами тригонометрії.

Розглянемо інтеграли

. (39)

Для знаходження цих інтегралів застосовують такі формули:

;

;

.

Якщо , то перший з інтегралів (39) обчислюють так:

Аналогічно обчислюють і два інші інтеграли.

При інтеграли (39) обчислюють так:

; (40)

; (41)

. (42)

Якщо , то, використовуючи непарність функції та парність функції , знаходження інтегралів (39) зводиться до випадку .

Зауважимо, що метод обчислення інтегралів (40) і (42) використовується і для інтегралів виду та .

Читайте також:

1. Аверсивную терапію використовують, як правило, при лікуванні алкоголізму, нікотиновій залежності і деяких інших захворювань.
2. Аденогіпофіз, його гормони, механізм впливу, прояви гіпер- та гіпофункцій.
3. Аутентифікація з використанням односторонніх функцій
4. Базовий синтаксис деяких основних операторів
5. Безпосереднє інтегрування
6. Важкість праці: Динамічні, статичні навантаження. Напруженість праці. Увага, напруженість аналізаторних функцій, емоційна та інтелектуальна напруженість, монотонність праці.
7. Види договорів і контрактів. Розподіл функцій учасників проекту
8. Види функцій державного управління
9. Виконання лінійної регресії за допомогою функцій Excel
10. Властивості деяких шкідливих речовин і їх вплив на організм людини
11. Вона є важливим органом, який виконує ряд функцій
12. Вона є важливим органом, який виконує ряд функцій

Переглядів: 1162