Розглянемо деякі типи інтегралів від тригонометричних функцій, які обчислюються в скінченному вигляді. До них належать інтеграли від раціональних функцій відносно функцій , , , , , . Оскільки функції , , та раціонально визначаються через та , то мова піде про інтеграли виду
, (33)
де – раціональна функція від та .
Інтеграли такого виду можна звести до інтегралів від раціональної функції за допомогою так званої універсальної тригонометричної підстановки
.
Справді,
;
.
Крім того,
.
Інтеграл (33) після заміни змінної (34) набуває вигляду
, де
– раціональна функція від змінної .
Таким чином, інтеграл виду (33) завдяки підстановці (34) завжди можна обчислити в скінченому вигляді. Однак застосування підстановки (34) не завжди доцільне. В окремих випадках можна використати інші, простіші методи. Це стосується, зокрема, інтегралів виду
; (35)
, (36)
де – ціле число; та – раціональні функції від своїх аргументів.
Для обчислення інтеграла (35) застосуємо підстановку
. (37)
Матимемо
Отже,
,
де – раціональна функція від .
Аналогічно, якщо скористатися підстановкою
,
то інтеграл (36) набуває вигляду
,
де – раціональна функція від .
При обчисленні інтегралів від тригонометричних функцій часто доводиться користуватися відомими формулами тригонометрії.
Розглянемо інтеграли
. (39)
Для знаходження цих інтегралів застосовують такі формули:
;
;
.
Якщо , то перший з інтегралів (39) обчислюють так:
Аналогічно обчислюють і два інші інтеграли.
При інтеграли (39) обчислюють так:
; (40)
; (41)
. (42)
Якщо , то, використовуючи непарність функції та парність функції , знаходження інтегралів (39) зводиться до випадку .
Зауважимо, що метод обчислення інтегралів (40) і (42) використовується і для інтегралів виду та .