Інтеграл від ірраціональної функції не завжди обчислюється в
скінченному вигляді. Проте деякі типи таких інтегралів за допомогою певних підстановок можна звести до інтегралів від раціональних функцій.
Позначимо раціональну функцію від змінних . Наприклад, функція є раціональною від , тобто
.
Інтеграли виду ,
де - натуральні числа, - дійсні числа, причому (у іншому випадку - стала величина) обчислюється за допомогою введення нової змінної
,
де k - спільний знаменник дробів .
Приклад 1.Обчислити .
Розв’язування. Зробимо підстановку . Одержимо
.
Далі маємо
.
Приклад 2.Обчислити .
Розв’язування.
.
Інтеграли виду зводяться до інтегралів від раціональних функцій за допомогою підстановок Ейлера.
Якщо , то вводиться нова змінна t :
,
де знаки можна брати у будь-якій послідовності.
Якщо у тричлені , то можна використати іншу підстановку
.
У випадку коли і тричлен має дійсні різні корені й , то використовується підстановка
або
.
Зазначимо, що підстановки Ейлера часто приводять до досить складних раціональних функцій, а тому на практиці при обчисленні інтегралів цього типу користуються простішими методами.