• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Застосування подвійних інтегралів

а)обчислення площі плоскої фігури;

Площа плоскої області дорівнює . Якщо область визначена нерівностями , то площа дорівнює . Якщо область визначена нерівностями

, то площа дорівнює .

Якщо область у полярних координатах визначена нерівностями , то площа дорівнює

б) обчислення об’ємів;

Об’єм циліндричного тіла, твірні якого паралельні осі і яке обмежене знизу областю , що лежить на площині , а зверху поверхнею , яка неперервна в області , знаходиться за формулою . Якщо циліндричне тіло обмежене зверху поверхнею , а знизу поверхнею і проектується на площину в область , то об’єм обчислюється за формулою .

в) обчислення площі поверхні;

Якщо поверхня, яка задана рівнянням , проектується на

площину в область і функції неперервні в цій області, то площу цієї поверхні знаходять за формулою: . Якщо поверхня має рівняння виду , то

, де – проекція поверхні на площину . Якщо поверхня має рівняння виду , то

, де – проекція поверхні на площину .

г) маса плоскої пластини;

Нехай на площині пластина займає замкнену область , в кожній точці якої відома густина , розмірність якої . Маса такої пластини визначиться за формулою

д) центр маси пластини, статичні моменти:

Центр маси пластини обчислюється за формулами , , де , – статичні моменти пластини відносно осей та відповідно. Якщо пластина однорідна, то густина .

е) моменти інерції пластини;

Моменти інерції пластини та , відносно координатних осей і обчислюється за формулами: , . Момент інерції пластини відносно початку координат .

Зауваження: якщо в формулах для обчислення моментів інерції покласти , то одержимо геометричні моменти інерції.

Задача 21. Обчислити площу плоскої фігури, обмежену лініями: .

Розв’язання: Побудуємо плоску фігуру, обмежену заданими лініями. Знайдемо точки перетину ліній, що обмежують фігуру. Для

цього розв’яжемо систему рівнянь:

. Дістанемо та . Фігура знаходиться між двома перпендикулярами: та . В цей час змінюється від до . Запишемо подвійний інтеграл через повторний (випадок I):

= (кв.од.)

Задача 22. Обчислити об’єм тіла, обмеженого поверхнями та .

Розв’язання: Розглянемо восьму частину заданого тіла. Поверхня, яка обмежує її зверху проектується в площину у чверть кола радіуса з центром в точці :

Для обчислення об’єму циліндричного тіла, твірні якого паралельні осі , яке обмежене знизу поверхнею , а зверху – поверхнею застосовують формулу:

. В нашому випадку , а . Тоді (куб.од).

Маємо (куб.од).

Задача 23. Знайти площу частини конуса , що міститься в середині циліндру .

Розв’язання: Зробимо рисунок поверхні. Площу поверхні обчислимо за формулою:

, де – проекція даної поверхні на

площину . Розв’яжемо рівняння конуса відносно :

. Знайдемо частинні похідні по та :

Область у площині є круг, обмежений колом

Знайдемо підінтегральну функцію:

, тому .

Так як область інтегрування є круг, то перейдемо у полярну систему координат: . Запишемо рівняння кола у полярних координатах:

, .

(кв. од.).

Задача 24. Знайти масу матеріальної пластини, що має форму замкненої області , обмеженої лініями: а густина в кожній точці визначається функцією , неперервною в області .

Розв’язання: Побудуємо область

Маса такої пластини визначається за формулою: .

Маємо .

.

Задача 25. Знайти центр маси однорідної пластини, обмеженої кривою та віссю .

Розв’язання: Зробимо рисунок пластини.

Координати центра маси пластини обчислюється за формулами , , де , , . Так як пластина однорідна, то . В цьому випадку матимемо

.

Обчислимо інтеграли

;

.

Тоді .

Читайте також:

1. Effects/Accessories - Ефекти/Аксесуари - Тут ви можете вибрати плагін для застосування його до ландшафту.
2. I. Застосування похідної та інтеграла до роз’язування задач елементарної математики.
3. IV етап. Практичне застосування одержаних даних.
4. IV. ДІЯ ЦЬОГО ЗАКОНУ І ОСОБЛИВОСТІ ЙОГО ЗАСТОСУВАННЯ
5. V. Виконання вправ на застосування узагальнювальних правил.
6. V. Рекомендації щодо безпечного застосування сільськогосподарської техніки при виконанні основних агротехнологічних операцій у рослинництві
7. А.1 Стан , та проблемні питання застосування симетричної та асиметричної криптографії.
8. Автомобільні ваги із застосуванням цифрових датчиків
9. Акти застосування норм права
10. Акти застосування норм права в механізмі правового регулювання.
11. Акти застосування юридичних норм: поняття, ознаки, види.
12. Акти правозастосування, їх види

Переглядів: 8276