• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Потрійний інтеграл

Потрійний інтеграл у декартових прямокутних координатах зводиться до обчислення трикратного інтеграла.

, де – циліндричне тіло, проекція якого на площину є область і яке обмежене знизу поверхнею , а зверху – .

На практиці найбільш вживаними у просторі є циліндричні та сферичні координати.

Потрійний інтеграл у циліндричних координатах

,

де . Добуток визначає елемент об’єму в циліндричній системі координат.

Потрійний інтеграл у сферичних координатах

,

де , , . Добуток визначає елемент об’єму в сферичній системі координат.

Задача 26. Обчислити , якщо область обмежена площинами: .

Розв’язання: Область – піраміда, область в площині – прямокутний трикутник . Зробимо рисунок області :

=

.

При розв’язуванні деяких задач необхідно використовувати поверхні другого порядку. До поверхонь другого порядку відносять циліндричні, конічні поверхні, поверхні обертання, сферу, еліпсоїд, однопорожнинний та двохпорожнинний гіперболоїди, еліптичний та гіперболічний параболоїди. Розглянемо їх і наведемо канонічні рівняння та вигляд цих поверхонь.

Циліндричною поверхнеюназивають поверхню, утворену множиною прямих (твірних), які перетинають задану лінію (напрямну). Найчастіше розглядають такі циліндричні поверхні, напрямні яких лежать в координатній площині, а твірні паралельні осі, що перпендикулярна до цієї площини. Наприклад, рівняння описує циліндричну поверхню з напрямними в площині і твірними, паралельними осі . Циліндричні поверхні, напрямними яких є криві другого порядку, називають циліндричними поверхнями другого порядку.

Циліндри поділяються на еліптичний ( – круговий циліндр)

параболічний

гіперболічний

Поверхню, утворену обертанням заданої плоскої кривої навколо заданої прямої (осі), розташованої в площині кривої , називають поверхнею обертання. Розглянемо деякі з них.

Канонічне рівняння еліпсоїда . Числа називаються півосямиеліпсоїда.

Якщо маємо сферу з центром в початку координат.

Канонічне рівняння однопорожнинного гіперболоїда

Канонічне рівняння двопорожнинногогіперболоїда

Обидва гіперболоїди є симетричні відносно координатних площин, а початок координат точка є їх центромсиметрії. Числа називаються півосями гіперболоїда.

Канонічне рівняння еліптичного параболоїда

Канонічне рівняння гіперболічного параболоїда

Канонічне рівняння конуса

Читайте також:

1. I. Застосування похідної та інтеграла до роз’язування задач елементарної математики.
2. Базовою для інтегрального числення є така теорема: ТЕОРЕМА 2. Якщо функція неперервна, то для неї існує
3. ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ
4. Визначений інтеграл із змінною верхнею межею
5. Визначений інтеграл та його властивості
6. Визначений інтеграл, як границя інтегральних сум
7. Визначений інтеграл, як границя інтегральної суми. Теорема існування. Геометричний зміст визначеного інтеграла.
8. Визначений інтеграл.
9. Використання в економічному аналізі інтегрального методу.
10. Використання інтегральної теореми
11. Властивості визначеного інтеграла
12. Властивості визначеного інтеграла.

Переглядів: 2181