• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Тема: Визначення статичних характеристик елементів автоматичних систем керування

Передавальні властивості елементів і систем в статичному режимі описують за допомогою статичних характеристик. Статичною характеристикою елемента називають залежність його вхідної величини Y від вхідної х

Y= f (x) = Y(x) (1.1)

в установленому статичному режимі.

Статична характеристика конкретного елемента може бути задана в формувальному вигляді (наприклад, у вигляді алгебраїчної функції y=cx² ) або у вигляді графіка.

У загальному випадку, коли стан елемента або системи залежить від декількох вхідних впливів Х₁, Х₂ ... Х_m, то статична характеристика представляє собою функцію декількох незалежних змінних

Y = f (Х₁, Х₂ ... Х_m). (1.2)

Так, як статичний режим є частковою формою динамічного режиму, то відповідна статична характеристика може бути отримана як частковий вид диференційного рівняння:

; (1.3)

Таке рівняння називають рівнянням динаміки елемента або системи. Якщо x(t) і y(t) та їх похідні входять у рівняння у вигляді добутків, степеней або часток, то ці рівняння називають нелінійними.

У випадку, коли розглядаються статичні характеристики об’єкта, зовнішні збурюючі і керуючі впливи приймаються постійними.

Якщо вивчаються динамічні властивості, то ці впливи вивчаються як змінні у часі (при цьому отримують кілька алгебраїчних і диференційних рівнянь).

Для систем керування, які описуються рівняннями з постійними параметрами, справедливий принцип накладання або суперпозиції:

Зміна вихідної величини Y(t), яка виникає при дії на систему декількох вхідних сигналів x_i(t), дорівнює сумі змін Y_i(t) величини Y(t), викликаних кожним сигналом окремо.

Статичні або позиційні об’єкти – об’єкти автоматичних систем, конструктивні елементи яких, в статичному режимі мають однозначні залежності між вихідною і вхідною величинами.

Деякі елементи та системи не володіють певними передавальними властивостями в статичному режимі: при різних значеннях вхідної величини х, величина у може приймати одне і те ж значення і, навпаки, при одному і тому ж значенні х, величина у може приймати будь-які значення. Такі елементи називаються астатичними. До них відносяться, наприклад, інтегруючі ланки.

По виду статичних характеристик елементи поділяють на лінійні і нелінійні. Статична характеристика лінійного елемента описується лінійною функцією y=b+ax. У нелінійних елементів зв’язок між вхідною і вихідною величиною виражається звичайно у вигляді степеневих функцій, степеневих поліномів, дробових раціональних функцій і більш складних функцій.

Нелінійні елементи в свою чергу поділяють на елементи з істотно-нелінійною статичною характеристикою і елементи з несуттєво нелінійною характеристикою. Останні можна лінеаризувати.

Статична характеристика є несуттєво нелінійною, якщо вона описується неперервно-диференційованою функцією.

Лінеаризацією називається наближена зміна нелінійної функції лінійною. Лінеаризація нелінійної характеристики є вірною, якщо в процесі роботи елемента його вхідна величина змінюється в невеликому діапазоні навколо деякого значення х=х₀. Статична характеристика вважається суттєво нелінійною, якщо вона має злами або розриви.

Лінеаризацію гладких статичних характеристик можна здійснювати або по методу дотичної, або по методу січної.

Коефіцієнт пропорційності К між відхиленнями вихідної і вхідної величини в статичному режимі називають передавальним коефіцієнтом.

Передавальний коефіцієнт є основним параметром лінійних і лінеаризованих елементів статичного типу: його числове значення цілком характеризує передавальні властивості елемента в статиці.

Розмірність передавального коефіцієнта рівна відношенню розмірності вихідної величини до розмірності вхідної величини:

[k]=[y]/[x]

Передавальний коефіцієнт обчислюється за формулою:

,

де Dу, Dх – відхилення вихідної і вхідної величин відповідно.

Практичне заняття №2

Властивості та характеристики
одноємнісних об'єктів та складання диференційних рівнянь

Одноємнісний, або одномірний керований об'єкт ОКО, характеризується двома узагальнюючими координатами , (рис. 2.1).

Рисунок 2.1 – Модель “вхід – вихід” одноємнісного об'єкта

Вхідна величина – це величина енергетичного або матеріального потоку, що поступає на вхід об'єкта ( ).

Вихідна величина – це стан об'єкта ( ) або координати, зв'язаних між собою рівнянням балансу енергії або речовини, що накопичуються в об'єкті

. (2.1)

Це основне рівняння одноємнісного об'єкта.

Тут: – постійна величина, що характеризує акумулюючу властивість об'єкта; – показник стану об'єкта; – кількість енергії або речовини, що поступає в об'єкт за одиницю часу (дорівнює різниці притоку і стоку енергії або речовини)

. (2.2)

Одна з величин, яка входить в рівняння (2.2), є збурюючим впливом або навантаженням, тоді друга величина використовується, як керуючий вплив.

Якщо , то . Тоді – незмінна.

При всякому і величина згідно з рівнянням (2.1) буде зростати або зменшуватись залежно від знаку.

Величина називаєтьсякоефіцієнтом ємності і визначає швидкість зміни координати при постійному значенні показника .

Якщо об'єкт являє собою резервуар, в який поступає рідина, то координата є рівнем рідини. Показник – різниця між припливом і стоком рідини за одиницю часу. Площа поверхні рідини є коефіцієнтом ємності .

Чим більша ця площа, тим повільніше проходить зміна рівня при одній і тій же різниці між припливом і стоком.

Коефіцієнт ємності може бути постійним або змінним. Наприклад, для резервуара у вигляді циліндра при будь-якому значенні рівня . Якщо резервуар має форму конуса, то буде залежати від поточного значення , а рівняння стане нелінійним. В об'єктах з постійним коефіцієнтом ємності кожному значенню показника відповідає визначена кількість енергії або речовини, акумульованої ємністю об'єкта

. (2.3)

В одному і тому ж технічному апараті можуть відбуватися декілька процесів різної фізичної природи.

Рисунок 2.2 – Одноємнісний об'єкт

Приклад.Нагрівання і вихід вологи відбуваються одночасно при сушці. Такий технічний процес і апарат характеризується декількома коефіцієнтами ємності. Якщо в середині технічного апарата можна виділити декілька ділянок, що мають , і якщо перехід енергії або речовини від однієї ділянки до другої затруднений, то такий апарат – багатоємнісний об'єкт.

Таблиця 2.1 — Приклади одноємнісних об'єктів

Кожну ділянку в цьому випадку потрібно розглянути окремо, як одноємнісний об'єкт. Крім цього основного рівняння (2.2), одноємнісний об'єкт підпорядковується закону, згідно з яким відбувається обмін енергії і речовини між об'єктом і зовнішнім середовищем. В узагальнюючій формі цей закон може бути виражений у вигляді 2-х залежностей

. (2.4)

Ці залежності мають нелінійний характер (рис. 2.4).

При аналізі такі залежності необхідно лінеаризувати. Поведінка об'єктів в часі залежить від співвідношення похідних і в точці, яка відповідає режиму, що розглядається.

Рисунок 2.3 – Нелінійні залежності

Наприклад:Якщо в резервуарі з рідиною при рівні різниця похідних

, (2.5)

то випадково виникла різниця між припливом і стоком буде зменшуватись в міру збільшення . Через деякий час вона буде 0, а рівень стане постійним . В цьому випадку говорять, що об'єкт має властивістьсамовирівнювання.

Якщо різниця (2.5) буде менша 0, то із збільшенням рівня буде збільшуватись різниця між припливом і стоком, що в свою чергу викличе подальше зростання рівня. Це означає, що самовирівнювання в об'єкті відсутнє.

Самовирівнювання – це властивість об'єкта, завдяки якій невідповідність між припливом і стоком енергії речовини самостійно прямує до 0, а вихідна величина прямує до нового встановленого значення. Все проходить без керування.

Складемо загальне диференціальне рівняння одноємнісного об'єкта, враховуючи умови балансу і закони обміну,

.

Для прикладу візьмемо резервуар з рідиною. Нехай до подачі зовнішнього впливу об'єкт перебуває в статичному режимі, коли приплив і стік однакові . Після ступінчастої зміни припливу рідини на величину відбувається зміна рівня рідини . Зміна рівня зумовлює збільшення або зменшення припливу і стоку. Знайдемо нові значення припливу і стоку. Для цього розкладемо залежність в ряд Тейлора

і (2.6)

Враховуючи, що , підставимо ці значення в рівняння (2.1)

.

Дане рівняння можна спростити враховуючи, що у вихідному стані приплив і стік були рівні, а також що похідна від , яка є постійна, дорівнює 0.

. (2.7)

Диференціальне рівняння (2.7) об'єкта зв'язує змінну в часі величину і вихідну величину . Дане рівняння складалось з використанням лінеаризації, і тому воно дійсне лише для малих відхилень величин і рівня від значень і . Дане рівняння можна переписати у відносних одиницях і ввести поняття коефіцієнта самовирівнювання. Для цього використовуються базові значення статичного режиму. В даному випадку вигідно прийняти за базові ;

,

тоді .

Якщо підставити ці значення в рівняння (2.7), то отримаємо

. (2.8)

Коефіцієнт, що стоїть перед , позначають через

.

Коефіцієнт називається коефіцієнтом самовирівнювання.

Величина і знак коефіцієнта залежать від відношення похідних. Якщо розділити ліву і праву частини рівняння на абсолютне значення коефіцієнта , то це рівняння можна привести до стандартної форми

. (2.9)

Тут — постійна часу об'єкт; — безрозмірний передавальний коефіцієнт об'єкта.

Якщо , то рівняння (2.9) перетворюється в рівняння ,яке описує статичні властивості об'єкта. З цих виразів випливає, що чим більше , тим менша постійна часу і передавальний коефіцієнт об'єкта.

1. Якщо , то одноємнісний об'єкт має властивість самовирівнювання і за своїми динамічними властивостями еквівалентний стійкій інерційній ланці 1-го порядку.

2. Якщо , то самовирівнювання відсутнє, і такий об'єкт еквівалентний ідеальній інтегруючій ланці.

3. Якщо , то в рівнянні (2.9) перед змінною Х буде “–“, що відповідає додатному кореню зростаючої перехідної функції.

На рис. 2.4, 1 зображений резервуар, в якому приплив не залежить від рівня рідини . Ця ж умова витримується для рис. 2.4, 2, 3. Але ж умова стоку рідини у всіх випадках різна. В резервуарі рідина тече вільно через вихідний патрубок. Залежність стоку від рівня при будь-яких значеннях рівня має додатний нахил. Чим більший рівень тим більша величина стоку . Коефіцієнт самовирівнювання і після зовнішнього впливу у вигляді збільшення припливу рівень прямує до нового встановленого значення.

Рисунок 2.4 – Приклади одноємнісних об'єктів

Рисунок 2.5 – Перехідні характеристики об'єктів, приведених на рис. 2.4

У 2-ому резервуарі стік рідини відбувається вимушено за допомогою насоса. Це означає, що стік не залежить від рівня рідини і . В цьому випадку рівень рідини збільшується незалежно від величини потоку.

У 3-ому резервуарі зворотний клапан в міру збільшення рівня рідини зменшує стік , рівень рідини збільшується зі зростаючою швидкістю.

Практичне заняття №3

Читайте також:

1. A) Оцінка захисних споруд за ємністю – визначення коефіцієнта Квм.
2. Active-HDL як сучасна система автоматизованого проектування ВІС.
3. BANKING SYSTEM. Банковская система
4. CMM. Визначення моделі зрілості.
5. D – моделювання в графічній системі КОМПАС
6. D-тригер з динамічним керуванням
7. D. СОЦИОИДЕОЛОГИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ВЕЩЕЙ И ПОТРЕБЛЕНИЯ
8. Demo 7: Модель OSI (модель взаімодії відкритих систем)
9. I визначення впливу окремих факторів
10. I. Загальна характеристика політичної та правової думки античної Греції.
11. I. Органи і системи, що забезпечують функцію виділення
12. I. Особливості аферентних і еферентних шляхів вегетативного і соматичного відділів нервової системи

Переглядів: 4092