• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Округлення числа.

При округлені числа а його заміняють числом а₁ з меншою кількістю значущих цифр. При округленні до m "значущих цифр" відкидають всі цифри, які стоять праворуч m-ої значущої цифри. Якщо перша зліва із відкинутих цифр більша або дорівнює 5, то останню цифру, яку залишають збільшують на 1.

Приклад: Вкажіть вірні цифри:

4. Відносна похибка наближеного значення числа.

Відносною похибкою наближеного значення числа а називається відношення абсолютної похибки α цього наближення

до числа а, тобто

На практиці оцінюють модуль відносної похибки число Е, для якого. Число Е називається границею відносної похибки

і визначається:

Залежність відносної похибки від числа значущих цифр приведена в таблиці 1.

Із таблиці видно, що три вірні значущі цифри забезпечують точність результатів від 0,005 до 0,5%. В технічних розрахунках прийнято виконувати обчислення з трьома значущими цифрами. Границю абсолютної похибки знаходять по даній відносній похибці і модуль наближеного значення величини

Приклад 1.

Знайти відносну похибку числа 6,8, якщо обидві цифри вірні.

По умові, а тому

Приклад 2.

Які цифри числа 4,83 (0,3%) вірні?

Вірні цифри 4,8

5. Дії над наближеними значеннями чисел.

а) Без врахування похибок.

При додаванні (відніманні) наближених значень чисел в результаті слід залишити стільки десяткових знаків, скільки їх має дане з найменшим числом десяткових знаків.

При множенні ( діленні)наближених значень чисел в результаті слід залишити стільки значущих цифр, скільки їх має дане з найменшим числом значущих цифр.

При піднесенні до степеня наближеного значення числа в результаті слід залишити стільки значущих цифр, скільки їх має основа степеня.

При додаванні кореня з наближеного значення числа в результаті слід залишити стільки значущих цифр, скільки їх має підкореневий вираз.

б) З урахуванням похибок.

Границя абсолютної похибки суми наближених значень чисел дорівнює сумі границь абсолютних похибок цих чисел

Границя абсолютної похибки різниці двох наближених значень чисел дорівнює сумі границь їх абсолютних похибок.

Границя відносної похибки добутку наближених значень чисел дорівнює сумі границь їх абсолютних похибок

Границя відносної похибки частки наближених значень двох чисел дорівнює сумі границь їх абсолютних похибок

Границя відносної похибки степеня наближеного значення числа дорівнює добутку показника степеня на границю відносної похибки основи степеня

Границя відносної похибки кореня з наближеного значення числа дорівнює границі відносної похибки підкореневого числа поділеного на показник кореня

6. Обчислення з наперед заданою точністю.

Обернена задача:

Які повинні бути похибки даних наближених чисел, щоб в результаті обчислень була одержана наперед задана допустима границя похибки.

Приклад.

З якою точністю треба виміряти сторону квадрата, щоб при обчисленні площі границя абсолютної похибки не перевищувала

1 см²:

2. Дійсні числа.

1. Ірраціональні числа

Числа, які вживаються при лічбі, називаються натуральними

N = {1,2,3…}.

Множина нескінченна, дискретна. Завжди виконуються дії додавання і множення.

Приєднуємо до натуральних чисел число 0 і від’ємні числа. Утворюється множина цілих чисел Z. В множині Z завжди виконуються дії додавання, множення і віднімання.

Приєднуємо до множини цілих чисел дробові числа ( як додатні, так і від’ємні). Утворюється множина раціональних чисел Q.

Означення: Числа виду , де , - називаються раціональними.

Властивості:

1) Для любих чисел a і b означена сума і операція суми комутативна і асоціативна:

2) Для любих чисел означений добуток з властивостями:

Любе раціональне число можна записати в вигляді нескінченного, десяткового дробу.

2. Ірраціональні числа.

Теорема.

Не існує раціонального числа, квадрата якого дорівнює 2.

Доведення.

Припустимо, що існує раціональне число таке, що , - парне число, а значить m² – парне число. Тобто m = 2k. Маємо . Аналогічно: n – парне число. Значить дріб можна скоротити, що суперечить умові.

Таким чином, виникає необхідність ввести нові числа.

Ірраціональними числами називаються числа, які можна записати в вигляді десяткових нескінченних неперіодичних дробів – 1.

3. Дійсні числа.

Об’єднання раціональних і ірраціональних чисел називається дійсними числами – R.

Між множиною R всіх дійсних чисел і множиною всіх точок координатної прямої існує взаємно однозначна відповідність.

Числові проміжки:

- числова вісь

Якщо

Якщо

Якщо

Якщо

Якщо

3. Поняття функції, властивості.

Співвідношення між множинами x і y при якому кожному елементу x відповідає тільки один елемент y – множини.

Функція, яка задана на числовій множині і приймає значення із числової множини, називається числовою.

Множина x називається областю визначення функції D(x),а елементи цієї множини називається аргументами.

Множина y називається областю значення функції E(y), а елементи цієї множини називається функціями.

Задати числову функцію це значить:

1) Вказати D(x);

2) Вказати закон по якому кожному елементу x відповідає тільки один y.

Способи задавання функції:

1) З допомогою стрілок;

2) З допомогою впорядкованих пар;

3) Табличний;

4) Графічний;

5) Описовий;

6) Аналітичний;

7) Символічний.

Основні властивості функції

1) Монотонність – функція яка тільки зростає. Функція називається монотонно зростаючою якщо: для , для , із того, що .

Функція називається монотонно спадною якщо: для, для, із того, що .

Функція, яка зростає і спадає, називається Кусково монотонною.

2) Парна і непарна функція.

Функція називається парною, якщо x – симетричнамножина і

Функція називається непарною, якщо

3) Функція називається обмеженою, якщо її значення y не обмежене. Функція називається обмеженою, якщо її множина y обмежена.

4) Функція називається обмеженою, якщо кожному x відповідає один y і кожному y відповідає один x.

5) Функція називається періодичною, якщо існує таке найменше число T, яке будучи доданим до аргументу, значення функція не міняє.

6) Функція називається неперервною в точці , якщо границя функції в цій точці існує і дорівнює значенню функції в цій точці .

4. Графік функції.

Графіком функції називається множини точок площини , де x приймає значення із D(x), а y – із E(y) функції.

1) Графік лінійної функції - пряма лінія.

2) Графік функції отримуємо із графіка зміщенням його вздовж осі на одиниць. Якщо - вгору, а якщо - вниз.

3) Графік функції отримаємо із графіка зміщенням його вздовж осі на одиниць: якщо- вліво, а якщо- вправо.

4) Графік функції є композиція графіків 2) і 3).

5) Вершина . Будуємо відносно вершини

6) Графік функції

5) Графік функції :

1) Будуємо ;

2) Залишаємо ту частину графіка, яка знаходиться праворуч від осі і дзеркально відображаємо відносно осі .

5. Приріст аргументу і приріст функції.

Якщо змінна величина х приймає значення від х₁, до х₂, то різниця між її значеннями називається приростом аргументу і позначається .

Різниця між відповідними значеннями функції називається приростом функції і позначається .

В загальному вигляді приріст функції в точці .

Геометричне приріст аргументу відповідає приросту абсциси точки кривої, а приріст функції – приросту ординати цієї точки.

6. Границя функції в точці і на нескінченності.

Число А називається границею функції в точці , якщо для будь-якого числа існує таке число , що для всіх , і таких, що , виконується нерівність . або.

Число А називається границею функції при , якщо для любого існує число , що при всіх .

Функція називається нескінченно малою, якщо .

Функція називається нескінченно великою, якщо .

Якщо - нескінченно мала, то нескінченно велика.

7. Теорема про границі.

Якщо функції і в точці мають границі, то:

1) Границя суми дорівнює сумі границь .

2) Границя добутку дорівнює добутку границь .

Наслідок 1. Постійний множник можна виносити за знак границі .

Наслідок 2. Границя степені дорівнює степені границь .

3) Границя частки дорівнює частці границі , при умові .

8. Неперервність функції в точці і на проміжку.

Функція називається неперервною в точці , якщо границя функції в цій точці існує і дорівнює значенню функції в цій точці .

Умови неперервності функції в точці:

1. Границя функції в точці визначена.

2. Границя функції в точці існує.

3. Границя дорівнює значенню функції в цій точці.

Функція називається неперервною проміжку, якщо вона неперервна в кожній точці цього проміжку.

Властивості неперервних функцій:

1. Многочлен є функція неперервна на всій числовій осі.

2. Дробово – раціональна функція є функція неперервна на області визначення.

3. Якщо функція неперервна на сегменті , то вона на цьому сегменті обмежена.

4. Якщо функція неперервна на сегменті , то вона на цьому сегменті приймає найменше і найбільше значення.

5. Якщо функція непевна на сегменті і на його кінцях приймає значення різних знаків, то існує хоч би одна точка С на , в якій .

9. Застосування неперервності функції до наближених методів розв’язування рівнянь.

Метод половинного ділення.

Вважаємо, що графічним методом корені рівняння відокремлені і один із них (находиться на .

Задача полягає в тому, щоб обчислити корінь з заданою точністю . Для цього ділимо відрізок навпіл і обчислюємо значення функції в середині відрізка . Якщо то для подальших обчислень вибирається один із отриманих половинок, на кінцях якоїприймає значення різних знаків. Повторюючи аналогічні обчислення, будемо все більш ближче наближатися до кореня рівняння . Процес обчислення триватиме доти, доки довжина відрізка буде менше . Тоді за величину кореня, як правило, вибирають середину відрізка.

10. Комплексні числа.

1. Розширення множин дійсних чисел.

Відповідно до прийнятих в математиці принципів розширення поняття числа при розширенні множини дійсних чисел мають задовольнятися такі вимоги:

1. Означення нових чисел мусить спиратися на поняття дійсного числа, і нова множина має містити всі дійсні числа;

2. Для нових чисел повинні виконуватися п’ять законів прямих арифметичних лій;

3. У новій числовій множині мусить мати розв’язок рівняння , бо в цій множині має виконуватися дія обернена до піднесення до степеня.

Число і квадрат якого дорівнює 1, позначається буквою і і називається уявною одиницею.

Рівність приймається за означенням і не доводиться. До нової множини належать числа ві – уявні числа.

Означення.

Всі числа виду а + ві, де а і в дійсні числа, а і уявна одиниця, називаються комплексними числами. «Комплексний» - складений. Числа а + ві ототожнюються з дійсними числами, тобто попередній числовий «запас» входить до нової числової множини як її частина.

Умови рівності комплексних чисел і правила виконання прямих дій:

1. Два комплексних числа а + ві і с + dі рівні між собою тоді і тільки тоді, коли а = с; b = d.

Числа а + ві і а – ві називаються спряженими.

2. Сумою двох комплексних чисел а + ві і с +dі називається комплексне число (а + с) + (b + d)і.

Додавання комплексних чисел підлягає переставному і сполучному закону .

3. Добутком двох комплексних чисел а + ві і с +dі називається комплексне число (ас - bd) + (аd + bс) і.

4. Дія множення комплексних чисел підлягає переставному і сполучному закону.

2. Геометрична інтерпретація комплексних чисел.

Кожному комплексному числу а + ві відповідає точка координатної площини М(а;в).

Координатну площину називають комплексною віссю абсцис – дійсною віссю, вісь ординат – уявною віссю.

Комплексне число можна інтерпретувати як вектор .

Читайте також:

1. Додатні ірраціональні числа. Невід’ємні дійсні числа.
2. Іменникова категорія числа. Експресивна та інформативна функції іменників, ужитих в однині чи множині.
3. Квантові числа.
4. Ознаки подільності на складені числа.
5. Поняття натурального ряду чисел та його відрізка. Лічба елементів скінченої множини. Порядкові і кількісні натуральні числа.
6. Прості і складені числа. Нескінченність множини простих чисел. Решето Ератосфена.
7. Теореми про подільність суми, різниці і добутку цілих невід’ємних чисел на натуральні числа.

Переглядів: 2571