Числа з плаваючою комою

У прикладних задачах програмістам досить часто доводиться оперувати дуже великими або дуже маленькими дійсними числами, наприклад такими, як маса Сонця, що складає 2×10³⁰кг, або маса електрона, яка становить 9×10^-28г. Записати в пам'ять подібні числа, враховуючи всі значущі цифри, і виконати над ними арифметичні операції, використовуючи арифметику з фіксованою комою, неможливо. У цьому разі для запису чисел використовується формат із плаваючою комою, коли кожне число розбивається на дві групи цифр. Перша група цифр називається мантисою, друга - порядком. Число записується у вигляді добутку.

Y =±M×S^±^p,

Тут Y — значення дійсного числа; М - мантиса числа; S — основа системи числення; р — порядок числа.

Мантиса (дріб зі знаком) і порядок (ціле число зі знаком) зображуються в системі числення з основою S. Знак числа збігається зі знаком мантиси. Порядок р є додатним або від'ємним цілим числом і визначає положення коми в числі Y. Таким чином, у мантисі зберігаються значущі цифри числа, а порядок визначає його величину.

Дійсні числа записуються в 4, 6, 8 або 10 байтах. Для того щоб в комірці оперативної пам'яті не зберігати знак порядку, замість нього використовується характеристика. Вона утворюється додаванням до порядку певного цілого числа. Це число добирається так, щоб характеристика завжди була додатною. Характеристику іноді називають зсуненим порядком, При цьому формат зображення дійсних чисел є таким, як показано на рис. 1.4.

Для збільшення кількості значущих цифр у зображенні дійсного числа і запобігання переповненню при виконанні арифметичних операцій мантису нормалізують. Нормалізація означає, що значення мантиси має знаходитися в діапазоні від S^-1 до 1, де S — основа системи числення. У двійковій системі числення S=2 і мантиса набуває значення від 2^-1 до 1. Це означає, що мантиса будь-якого числа, зображеного у форматі з плаваючою комою, має починатися з одиниці у двійковій системі числення. Наведений метод нормалізації є класичним, при якому результат нормалізації зображується у вигляді правильного дробу, тобто з одиницею після коми і нулем у цілій частині числа (розглядається двійкова система). Є різні алгоритми нормалізації мантиси. В ІВМ-сумісних комп'ютерах старший біт нормалізованої мантиси розташований зліва від коми. В оперативній пам'яті цей біт не зберігається, тобто він є прихованим, а його вага дорівнює одиниці, тому мантиса належить інтервалу 1≤М≤2. Нормалізована мантиса додатних і від'ємних чисел зображується у прямому коді.

Діапазон чисел з плаваючою комою залежить від кількості розрядів, виділених для зображення порядку і мантиси, а також від основи системи числення. Слід зазначити, що розташування та довжини полів у зображеннях дійсних чисел визначаються типом комп'ютера та мовою програмування.

Визначимо діапазон дійсних чисел, що зображуються чотирма байтами (32 двійковими розрядами). У нормалізованій мантисі перша значуща цифра записана зліва від коми, а справа розташовуються 23 розряди (рис. 1.5). Тому максимальне значення мантиси М_мах=1,111..11=1+1/2+1/4+1/8+...=2, а її мінімальне значення М_міn=1,000..00=1 для додатних чисел і М_мах=-1 та М_міn=-2 для від'ємних чисел. Максимальне значення порядку числа визначається як Р_мах=2⁸-2=254₁₀=11111110₂,а мінімальне значення порядку - як Р_міn=00000001=1. Після цього можна визначити діапазон зображення додатних дійсних чисел: від D_min=M_min×2^(1-127)≈1,17×l0^-38 до D_max=М_мах×2^(254-127)≈3,4×l0³⁸

Приклад 1.11______________________________________________________

Зобразимо десяткове число -15,375₁₀ у форматі з плаваючою комою. Спочатку переведемо десяткове число в двійкову систему числення і отримаємо його двійковий еквівалент, тобто -1111,011₂. Після цього нормалізуємо число і отримаємо значення -1,111011×2³, де порядок числа дорівнює трьом. Оскільки число від'ємне, то знаковий біт міститиме одиницю. Обчислюючи характеристику числа, отримаємо значення 2⁷-1+3=130₁₀. Переведення значення характеристики в двійкову систему дає результат 10000010₂. Одиниця цілої частини нормалізованого числа відкидається, тому мантиса дійсного числа має вигляд 111011₂. Тепер можна записати машинне зображення дійсного числа, використавши для цього чотири байти:

11000001 01110110 00000000 00000000.

¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

Точність обчислень при використанні чисел із плаваючою комою визначається кількістю розрядів мантиси, тобто числом достовірних десяткових цифр. Оскільки 2²³ приблизно дорівнює 10⁷, при наявності 23 двійкових розрядів мантиси достовірними є тільки 6-7 значущих десяткових знаків.

Комп'ютери, які серійно випускаються різними фірмами, використовують різні формати зображення чисел. В першу чергу це стосується чисел із плаваючою комою. Щоб спростити використання програм, розроблених для різних платформ, було запропоновано стандарт IEEE 754, який регламентує формат запису чисел із плаваючою комою. Нині цей стандарт широко використовується, і практично всі розробники комп'ютерів дотримуються його вимог. Цей стандарт визначає два базових формати (32- та 64-бітовий), з 8- та 11-розрядними порядками відповідно (рис. 1.5).

Крім двох основних, у стандарті IEEE 754 запропоновано також два розширених формати, одинарний та подвійний, в яких зарезервовано додаткові біти для порядку та мантиси.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Арифметичні операції над цілими числами	\|	Типи комп'ютерів

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.004 сек.