Новини освіти і науки:

G+

Власні числа та власні вектори матриці

Розглянемо матрицю — квадратну матрицю розмірності n з дійсними елементами та ненульовий вектор - матрицю-стовпець розмірності .

· Ненульовий вектор — називається власним вектором матриці А, якщо існує таке число , що виконується рівність .

· Число називається власним числом матриці .

· Зауваження. . (див. розмірності ; )

За означенням власного вектора :

, тому

Запишемо матричне рівняння

як систему лінійних однорідних рівнянь:

· Зауваження. - є розв’язком однорідної системи рівнянь. Оскільки – ненульовий вектор, то головний визначник системи дорівнює нулю:

або .

· Рівняння називають характеристичним рівнянням для знаходження власних чисел матриці :

· - корені характеристичного рівняння є власними числами матриці .

· Для кожного власного числа матриці знаходиться власний вектор , що відповідає власному числу .

· Власним вектором матриці , що відповідає власному числу є вектор , координати якого є розв’язком системи лінійних однорідних рівнянь :

Приклад. Знайти власні вектори і власні числа матриці

Розв’язання. ; ;

Для знаходження власних чисел матриці запишемо характеристичне рівняння

, - власні числа матриці .

1) Знайдемо власний вектор, який відповідає власному числу .

Підставляємо до системи .

- власний вектор, який відповідає власному числу . Якщо , то .

2) Знайдемо власний вектор, який відповідає власному числу .

Підставляємо до системи .

— власний вектор матриці А, який відповідає власному числу . Якщо , то .

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Теорема. Для того, щоб вектори були лінійно залежними необхідно і достатньо, щоб один з них був лінійною комбінацією решти.	\|	Квадратичні форми

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.005 сек.