Студопедия
Новини освіти і науки:
Контакти
 


Тлумачний словник






Вектори, лінійні операції над векторами

Означення. Вектором називається напрямлений відрізок. Позначати вектори будемо . Якщо, скажімо, точка А — початок вектора, а точка В — його кінець, то маємо .

Вектор, в якого початок і кінець збігаються, називається нульовим вектором.

Вектор вважається заданим, коли відома його довжина , і напрям щодо деякої осі.

Два вектори і називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих.

Вектори і вважаються рівними, коли вони:

1) колінеарні;

2) однаково напрямлені;

3) їхні довжини рівні.

З останнього випливає, що при паралельному перенесенні вектора дістаємо новий вектор, що дорівнює попередньому, тому вектори в аналітичній геометрії називають вільними.

Нехай у просторі задано деяку вісь l і вектор. Проведемо через точки А і В площини, перпендикулярно до осі l (рис. 2.7). Позначимо точки перетину цих площин з віссю l відповідно і .

Рис. 2.7

Означення. Проекцією вектора на вісь l називається довжина напрямленого відрізка на осі l. Слід зазначити, що , якщо напрям збігається з напрямом l і , якщо напрям протилежний напряму l.

Позначається проекція вектора на вісь lпрl. З рис. 2.7 випливає формула знаходження проекції вектора на вісь:

прl= ,

де — кут між вектором і віссю.

Якщо розглянути прямокутну декартову систему координат і точки початку А (х1, у1, z1) і кінця В (х2, у2, z2) вектора , то проекції вектора на кожну з осей мають вигляд:

Ох: ах = х2х1, Оу: ау = у2у1, Оz: аz = z2z1.

Довжина вектора подається формулою:

(2.4)

Якщо позначити a, b, g — кути між вектором і відповідними осями системи координат, то їх косинуси можна знайти за формулами:

. (2.5)

У подальшому називатимемо їх напрямними косинусами вектора . Піднісши кожну з формул (2.5) до квадрата і скориставшись (2.4), дістанемо:

cos2a + cos2b + cos2g = 1.

Дії з векторами виконуються за правилами:

1. Додавання:

= (ах + bх, ау + bу, аz + bz).

2. Множення вектора на число a Î R:

.

Для лінійних операцій з векторами виконуються властивості:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

Теорема. Проекція суми двох векторів на вісь дорівнює сумі їхніх проекцій на цю вісь:

Теорема. При множенні вектора на число його проекція на цю вісь також множиться на це число:

Нехай вектори такі, що за напрямом збігаються відповідно з осями Ох, Оу, Оz і . Такі вектори надалі називатимемо одиничними векторами осей системи координат. Тоді

(2.6)

3. Скалярний, векторний, мішаний добуток векторів

Означення. Скалярним добутком двох ненульових векторів і називається число (скаляр), яке дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними. Якщо хоча б один із векторів дорівнює нулю, то кут між векторами не визначений і за означенням скалярний добуток дорівнює нулю.

Отже:

,

де j — кут між векторами. Використовуючи формулу проекції вектора, можна також записати:

.

Властивості скалярного добутку:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. якщо і навпаки, якщо .

Нехай вектори і задано за допомогою (2.6), тоді, використовуючи властивості скалярного добутку, умови маємо:

(2.7)

Отже,

З рівності (2.7) випливає, що:

1. Необхідною і достатньою умовою перпендикулярності векторів і є ах bх + ау bу + аz bz = 0.

2. Кут між двома векторами і можна знайти за формулою:

.

Означення. Векторним добутком вектора на вектор називається вектор , якщо:

1) довжина вектора , де j — кут між двома векторами;

2) вектор перпендикулярний до кожного з векторів і

  Рис. 2.8

3) вектор спрямований так, що коли дивитися з його кінця на площину, в якій лежать вектори і , то поворот вектора до вектора відбувається на найменший кут проти годинникової стрілки.

Модуль векторного добутку двох неколінеарних векторів дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах як на сторонах.

Властивості векторного добутку:

1. , якщо і — колінеарні вектори.

2. .

3. .

4. .

Знайдемо векторні добутки одиничних векторів . З колінеарності векторів випливає: . З того, що одиничні вектори збігаються з напрямом осей прямокутної системи координат, маємо:

Знайдемо координати вектора , якщо , .

(2.8)

або

.

Означення. Мішаним добутком векторів називається число, яке дорівнює скалярному добутку вектора на векторний добуток векторів і , тобто .

  Рис. 2.9

Розглянемо геометричний зміст мішаного добутку. Для цього побудуємо на векторах , вважаючи, що вони не лежать в одній площині, тобто не компланарні, паралелепіпед (рис. 2.9).

Знайдемо об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах (рис. 2.9). Площа основи його дорівнює модулю векторного добутку векторів . Висота дорівнює . Отже, остаточно маємо:

. (2.9)

З останнього випливає, що модуль мішаного добутку чисельно дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на векторах . З рівності (2.9) маємо умову компланарності трьох векторів .

.

Враховуючи формули (2.7) і (2.8) знаходження скалярного і векторного добутків, маємо:

або

.

Властивості мішаного добутку:

1. .

2. .


Читайте також:

  1. Активні операції банків
  2. Активні операції комерційних банків
  3. Алгебраїчні операції
  4. Арифметичні операції
  5. Арифметичні операції в різних системах числення
  6. Арифметичні операції над цілими числами
  7. Багатоконтурні лінійні електричні ланцюги
  8. Банк і його операції. Правова природа банківської діяльності
  9. Бартерні операції
  10. Білінійні і квадратичні форми в евклідовому просторі
  11. Біржові операції.
  12. Біржові операції. Котирування цін на біржі




<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Бюджетне прогнозування | Найпростіші задачі аналітичної геометрії

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

 

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.003 сек.