Нехай задано дві точки М1 (х1, у1) і М2 (х2, у2) (рис. 2.10).
.
Трикутник М1М2K — прямокутний, тому за теоремою Піфагора маємо:
(2.10)
2. Поділ відрізка у заданому відношенні
Рис. 2.11
Число l — називається відношенням, в якому точка М ділить відрізок М1М2 (рис. 2.11), якщо
.
Нехай задано l і координати точок і , треба знайти координати точки М (х, у).
З рис. 2.11 і теореми про пропорційні відрізки, що відтинають паралельні прямі на сторонах кута, випливають співвідношення:
.
Оскільки числа х – х1 і х2 – х одного й того самого знака (при х1 < х2 вони додатні, а при х1 > х2 — від’ємні), то . Отже, .
Звідси:
. (2.11)
Аналогічно до попереднього дістанемо формулу для знаходження координати у
. (2.12)
Наслідок. Якщо точка М (х, у) — середина відрізка М1М2, то l = 1 і формули (2.11), (2.12) набирають вигляду:
.
3. Площа трикутника.
Рис. 2.12
Нехай задано координати вершин деякого трикутника А (х1, у1), В (х2, у2), С (х3, у3) (рис. 2.12).
Знайдемо площу цього трикутника. З рисунка бачимо, що площу трикутника АВС можна знайти як . У правій частині формули стоять площі відповідних трапецій, які подаються формулами:
;
.
Підставивши знайдені площі у вираз для площі трикутника, дістанемо:
Записавши останній вираз у вигляді визначника, дістанемо остаточну формулу: