Квадратичні форми

Квадратичною формою називається сума вигляду

· Квадратичною формою від n невідомих називається сума, кожен член якої є або квадратом однієї з невідомих або добутком двох різних невідомих, помножених на деякий коефіцієнт.

· Для цих коефіцієнтів застосуємо такі позначення:

коефіцієнт при позначимо як , коефіцієнт при добутку для , як , (, а член ).

· З коефіцієнтів можна скласти квадратну матрицю порядку . Ця матриця є симетричною та називається матрицею квадратичної форми.

Приклад. Скласти матрицю квадратичної форми

а)

б)

Розв’язання.

а)

б)

· Квадратична форма може бути:

- додатньо визначена, якщо ;

- невід’ємно визначена, якщо ;

- від’ємно визначена, якщо ;

- недодатньо визначена, якщо .

Квадратична форма називається невизначеною, якщо змінює знак.

Критерій Сільвестра (теорема про визначеність квадратичної форми)

Для того, щоб квадратична форма була додатньо визначена необхідно і достатньо, щоб всі головні мінори матриці А були додатніми. Для того, щоб квадратична форма була від’ємно визначена необхідно і достатньо чергування знаків головних мінорів. При цьому перший мінор повинен бути від’ємним.

Зауваження: головні мінори матриці — це діагональні мінори, які знаходяться у верхньому лівому куту.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Власні числа та власні вектори матриці	\|	Лекція 6

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.004 сек.