• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Основні правила диференціювання

1. (u v) ' = u'v'

2. (c u) ' = c(u)'

3. (u v)' = u'v + uv'

4.

5. Похідна складної функції : (f (g (x))) ' = f '(g (x))g'(x)

Доведення деяких формул з таблиці похідних.

1. c'=.

3. (sin x)'==.

Доведення деяких правил диференціювання.

1) (u+v) '=lim.

5) (f(g(x)))'=

=.

Вправа. Подумати над доведенням інших формул.

Роздивившись таблицю похідних основних елементарних функцій та таблицю правил диференціювання отримуємо теорему.

Теорема.Похідна елементарної функції є також елементарною функцією.

Приклади. 1) .

2) .

3) .

4) .

5) .

6) .

7) .

Знаходження похідної з допомогою логарифмування

(логарифмічне диференціювання)

Логарифмічне диференціювання полягає в тому, що перш ніж взяти похідну, функцію логарифмують за основою е: у=f(x), ln= ln, тоді, після спрощення правої частини за властивостями логарифмів, беруть похідну з лівої і правої частини та з отриманого рівняння виражають похідну у'.

Цей метод використовують коли функція є складним добутком, часткою чи степенем, бо при логарифмуванні вони спрощуються.

.

Приклад. y = (sin x)^x.

Функція визначена в околі точки х, якщо sin x>0. Тільки в таких точках можна шукати похідну.

ln у=ln(sin x)^x=x ln(sin x)

y' = y ( ln sin x + x ctg x )= (sin x)^x ( ln sin x + x ctg x ).

Вправа. Знайти похідну функції.

Диференціал функції

Приклад. Знайдемо приріст функціїв точці в т.х₀=3 при довільному малому приросту аргументу х. . Отже приріст функції розбився на дві частини: перша – головна частина приросту має вигляд с, де с – число, друга є функцією від – набагато меншою від при малих , кажуть нескінченно малою вищого порядку ніж при . Якщо знайти границю .

Функція y=f(x) називається диференційованою в т.х₀, якщо її приріст в цій точці можна подати у вигляді: , де с – число, а – функція від – нескінченно мала вищого порядку ніж при , тобто .

Тоді основну частину приросту функції, а саме називають диференціалом функції в т. х_0. Позначення: .

Теорема (про зв’язок похідної і диференціалу). Функція диференційована в точці тоді і тільки тоді, коли існує похідна в цій точці. Тоді а тому

.

Доведення. Нехай f диференційована в т. х₀ . Знайдемо похідну функції , тобто існує похідна рівна с.

Нехай існує . Доведемо, що f диференційована в точці х₀. Позначимо вираз через і доведемо, що він є нескінченно малим вищого порядку ніж при .

. Теорема доведена.

Операції знаходження похідної або диференціалу називають диференціюванням функції. Функція називається диференційованою на інтервалі, якщо вона диференційована в кожній точці інтервалу.

Теорема (про зв’язок диференціювання і неперервності). Диференційована в точці функція є неперервною в ній.

Доведення. Нехай функція диф. в точці. Тоді , при .

Навпаки не завжди правильно.

Приклад.– неперервна на, але не існує похідної в точці 0, бо = ==. Аналогічно для лівої границі отримаємо -1. Отже, дана границя не існує.(Можна також побачити на графіку в точці 0 є кут, тому нема дотичної).

Геометричний і практичний зміст диференціалу

. Але , де k – кутовий коефіцієнт дотичної в т. х₀.

f(х₀+х) K

у=f(х)

dy

М0 y

f(х₀) x P

х₀ х₀+х

З M₀PK: dy= tg – приріст дотичної. Отже, геометричний зміст диференціалу: диференціал функції в точці це приріст дотичної в даній точці.

Якщо - мале, то приріст дотичної мало відрізняється від приросту самої функції . Це ж випливає і з означення диференційованості в точці, бо величиною , яка є набагато меншою від можна знехтувати. Отже, практичний зміст диференціалу: при малих .

Дану формулу часто використовують в наближених обчисленнях.

Приклад. Обчислити наближено arctg 1,01.

Розглянемо функцію у=arctg x. Відомо, що arctg 1= . Приріст аргументу

=1,01-1=0,01 – досить малий. Можна замінити . Обчислимо в точці х=1. Тоді

arctg 1,01=arctg 1+arctg 1+3,1416/4+0,005=0,7854+0,0050,79.

Нова формула для диференціалу

Приклади. .

Отже, формулу для диференціалу можна переписати у вигляді:

Приклади. 1) 2) .

Нова формула для диференціалу має дуже зручну властивість.

Теорема (про інваріантність форми диференціалу). Формула є правильною також коли х є внутрішньою функцією х=х(t).

Доведення. Нехай х=х(t). .

Отже, диференціал можна брати від функції поступово.

Приклад. .

Також можна проводити обернену операцію – підведення під знак диференціалу: (також можна поступово (див. нижче пр.3)).

Приклади. 1) 2) 3) .

Із формули виразимо : – тобто, похідна дорівнює відношен-ню диференціалів. Це формула для обчислення похідної через диференціали. Вона правильна і тоді коли х незалежна змінна і коли х є внутрішньою функцією. Щоб підкреслити те, що похідна з функції у береться саме по змінній х використовують таке позначення . Також як позначення похідної з функції у по змінній х часто використовують вираз .

Правила диференціювання.

(Випливають із відповідних правил знаходження похідної і формули .)

dc=0 d(uv)=vdu+udv

d(cu)=c du

d(uv)=du dv

Похідна параметрично заданої функції

Кажуть функція у від х задана параметрично, якщо . Тут t – параметр.

Інколи можна з першого рівняння виразити t через х і, підставивши його в друге рівняння, отримати залежність у від х в звичайному, кажуть в явному вигляді.

Приклад. – параметрично задана функція.

, – та ж функція але задана явно.

Можна зразу ж шукати похідну з параметрично заданої функції, використавши формулу для похідної через диференціали.

. Функція тут залежить від параметру t як і функція у=у(t). Щоб розглядати її як функцію від змінної х, дописують ще залежність х від t: . Отже, похідна параметрично заданої функції вийшла також параметрично задана функція.

Приклад.

Похідна оберненої функції.

Нехай функція у=у(х) має обернену х=х(у).

Оскільки, то аналогічно .

Приклад. у=arcsin x – обернена функція до х=sin y, y є [-] . , то . (Враховано, що на даному проміжку.)

Похідна неявно заданої функції

F(x,y)=0 – це рівняння задає залежність у від х неявно. Кажуть неявно задана функція. Тут F - функція двох змінних.

Інколи з нього можна виразити у через х і отримати явну залежність у=у(х). Може вийти кілька функцій.

Приклад.– неявно задана функція. – отримали дві явно задані функції.

Можна шукати похідну зразу для неявно заданої функції. Для цього беруть диференціали з обох сторін рівняння, що задає функцію. Тут стають в пригоді правила для диференціалів. Потім з отриманої рівності виражають потрібну похідну .

Приклад. . Візьмемо диференціали з обох сторін рівняння:

.

Зауваження. Похідна виражається не тільки через х, але й через значення у в точці х.

Отже, якщо потрібно знайти похідну в точці х₀, то прийдеться також знайти у(х₀) з початкового рівняння.

Продовження прикладу. . Знайти . . Щоб знайти у(1/2) підставимо х=1/2 в початкове рівняння: , . Тоді . Отже, рівняння задає дві функції, для однієї з них похідна в точці ½ дорівнює , а для іншої дорівнює .

Похідні вищих порядків

Нехай для функції у=f(х) існує похідна в кожній точці деякого проміжку Х. Тоді є також функцією на Х. Для неї знову можна шукати похідну по змінній х. Вона називається похідною другого порядку для початкової функції. Позначається або , . .

Аналогічно -- похідна третього порядку і т. д.

Позначення: -- четверта, п’ята похідні (римськими цифрами), або – четверта, п’ята, n-та похідні (арабськими цифрами в дужках).

Також зустрічаються позначення через диференціали: =а—формула для знаходження похідної ІІ-го порядку через диференціали і позначення.

, – третя, n-та похідні функції у по змінній х.

Приклад. , , , ,…, .

Похідні вищих порядків параметрично заданої функції

, – знову параметрично задана функція. Аналогічно знаходимо для неї похідну по змінній х. Позначаємо або . – функція від t. Добавляємо залежність х(t): – параметрично задана функція. Можна ще шукати похідну, яка буде вже похідною третього порядку для початкової функції.

Приклад. . Можна шукати і т.д.

Основні теореми про диференційовані функції

Теорема Лагранжа (про скінченні прирости). Якщо функція f неперервна на відрізку [a,b] і диференційована на (а,b), тоді існує точка с є (a,b) така, що f(b)-f(a)= f '(c)(b-a).

Ліва частина рівності це приріст функції на [a,b], в правій частині є (b-a) – приріст аргументу. Отже, формула точно виражає приріст функції через приріст аргументу: .

Геометричний зміст: Якщо поділити на (b-a): . Зліва у формулі стоїть tg=k – кутовий коефіцієнт січної MN. Справа – кутовий коефіцієнт дотичної в точці с. їх рівність означає паралельність січної і дотичної. Отже, теорема стверджує, що якщо крива гладка, то існує

т. с є (a,b) така, що дотична в точці c є паралельною до січної, що проходить через точки з абсцисами a, b.

Теорема (правило Лопіталя – розкриття невизначеностейі ). Нехай частка функцій визначена в деякому проколотому околі точки а і потрібно знайти границю , але за теоремою про арифметичні дії над границями виходить невизначеність або . Тоді, якщо існує границя частки похідних =L (L – число чи нескінченність), то також існує початкова границя рівна L: .

Коротко: , якщо остання границя існує.

Зауваження 1. Якщо границя частки похідних не існує, то про початкову границю не можна зробити ніякого висновку. Вправа. .

2. Правило Лопіталя можна застосовувати і для односторонніх границь і при а=.

3. Правило Лопіталя можна застосовувати кілька разів підряд, поки виходять вказані невизначеності.

Доведення. (для неперервних разом з своїми похідними в деякому околі точки а функцій)

=.

Приклади. 1. . Оскільки остання границя число, то рівність правильна.

2. .

3. .

Зауваження. Інші види невизначеностей можна тотожними перетвореннями виразів звести до невизначеностей або .

Приклади. 1. =…

Вправа. Доробити границю за правилом Лопіталя.

2. .

Для степеневих невизначеностей: користуються формулою і неперервністю функції .

3. .

Теорема (формула) Тейлора

Якщо функція диференційована в точці в т. х₀, то можна записати

, де – нескінченно мала вищого порядку ніж при , тобто при .

Розпишемо прирости: , те саме: – це є формула Тейлора при n=1.

Теорема. Якщо для функції f(x) існують похідні до n-того порядку в деякому околі точки х₀, то справедлива формула Тейлора: де – нескінченно мала вищого порядку ніж при , цей вираз називається ще залишковим членом формули Тейлора. Залишковий член можна виписати точніше (у формі Лагранжа): , де точка с належить інтервалу з кінцями х₀ та х.

Зауваження. Формула Лагранжа у вигляді , де с є (х₀,х) є формулою Тейлора при n=0 із залишковим членом у формі Лагранжа.

Якщо х₀=0, то формула Тейлора називається ще формулою Маклорена:

, де – нескінченно мала вищого порядку ніж при . Залишковий член можна виписати точніше , де точка с належить інтервалу з кінцями 0 та х.

Формули Тейлора, Маклорена є незамінними для наближених обчислень з наперед заданою точністю. Детальніше з ними познайомимось, вивчаючи тему «Ряди».

Читайте також:

1. II. Основні закономірності ходу і розгалуження судин великого і малого кіл кровообігу
2. V. Етичні правила психологічних досліджень
3. А ви слідуєте цім правилам, коли виступаєте публічно?
4. Адвокатура в Україні: основні завдання і функції
5. Амортизація основних засобів, основні методи амортизації
6. Артеріальний пульс, основні параметри
7. Банківська система та її основні функції
8. Біржові товари і основні види товарних бірж. Принципи товарних бірж.
9. Будова й основні елементи машини
10. Будова оптоволокна та основні фізичні явища в оптоволокні.
11. Бюджетування (основні поняття, механізм).
12. Валютний ринок, основи його функціонування. Основні види валютних операцій

Переглядів: 2088