• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Геометрична інтерпретація задачі нелінійного програмування

Геометрично цільова функція (7.1) визначає деяку поверхню, а обмеження (7.2)-(7.3) – допустиму підмножину n-вимірного евклідового простору. Знаходження оптимального розв’язку задачі нелінійного програмування зводиться до відшукання точки з допустимої підмножини, в якій досягається поверхня найвищого (найнижчого) рівня.

Якщо цільова функція неперервна, а допустима множина розв’язків замкнена, непуста і обмежена, то глобальний максимум (мінімум) задачі існує.

Найпростішими для розв’язування є задачі нелінійного програмування, що містять систему лінійних обмежень та нелінійну цільову функцію. В цьому разі область допустимих розв’язків є опуклою, непустою, замкненою, тобто обмеженою.

Розглянемо приклад геометричного способу розв’язування задачі нелінійного програмування.

Приклад 7.1. Знайти мінімальне і максимальне значення функції:

за умов:

.

Розв’язання. Область допустимих розв’язків утворює чотирикутник АВСD (рис.7.1).

Рисунок 7.1

Геометрично цільова функція являє собою коло з центром у точці М(2;2), квадрат радіуса якого . Це означає, що її значення буде збільшуватися (зменшуватися) зі збільшенням (зменшенням) радіуса кола. Проведемо з точки М кола різних радіусів. Функція Z має два локальних мак­симуми: точки В(0;6) і С(8;0). Обчислимо значення функціонала в цих точках:

,

.

Оскільки , то точка С(8;0) є точкою глобального максимуму.

Очевидно, що найменший радіус , тоді:

.

Тобто точка М є точкою мінімуму, оскільки їй відповідає найменше можливе значення цільової функції.

Зазначимо, що в даному разі точка, яка відповідає оптимальному плану задачі (мінімальному значенню функціонала), знаходиться всередині багатокутника допустимих розв’язків, що в задачах лінійного програмування неможливо.

Приклад 7.2. Знайти мінімальне значення функції:

за умов:

.

Розв’язування. У даному прикладі множина допустимих розв’язків складається з двох окремих частин, необмежених зверху (рис.7.2).

Рисунок 7.2

Цільова функція аналогічно попередньому випадку є колом з центром у точці М(4;4). Функція Z має два локальних мінімуми: в точці А( ), і в точці В( ).

Значення функціонала в цих точках однакове і дорівнює:

.

Отже, маємо два альтернатив­ні оптимальні плани.

Даний приклад ілюструє ще одну особливість задач нелінійного програмування: на від­міну від задач лінійного програмування багатогранник допустимих розв’язків задачі нелінійного програмування не обов’язково буде опуклою множиною.

Наведемо основні особливості задач нелінійного програмування, що зумовлюють необхідність застосування відповідних методів їх розв’язання.

Читайте також:

1. Алгоритм розв’язання задачі
2. Алгоритм розв’язання розподільної задачі
3. Алгоритм розв’язування задачі
4. Алгоритм розв’язування задачі
5. Алгоритм розв’язування задачі
6. Алгоритм розв’язування задачі
7. Алгоритм розв’язування задачі
8. Алгоритм розв’язування задачі
9. Алгоритм розв’язування задачі оптимізації в Excel
10. Аналіз інформації та постановка задачі дослідження
11. Аналіз та інтерпретація інформації
12. Аналіз та інтерпретація одержаних даних

Переглядів: 1152