• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Приклади задач оптимального управління

1. Задача про мінімальну тривалість перехідного процесу.

Нехай маємо замкнуту систему управління. (рис 1.1)

Об’єкт управління описується рівняннями стану які представлені в матрично-векторній формі :

; . (1.18)

Тут – квадратна - матриця; ,– - мірні вектори; – скаляр, визначаються співвідношеннями

; ;

. (1.19)

В початковий момент часу об’єкт знаходиться в нульовому стані (). В цей момент часу на вхід системи подається задаючий вплив в формі одиничного ступінчастого стрибка, тобто одинична стрибкоподібна функція . Ставиться задача знайти таку структуру і параметри управляючого пристрою, інакше кажучи алгоритм роботи УП , в формі закону управління , при якому тривалість перехідного процесу

( рис.1.7) буде найменшою, а також буде досягнуто кінцевий стан вектора стану , вважаючи що управління обмежене умовою . Критерій оптимальності в цьому випадку має вигляд:

(1.20)

ця задача відноситься до широкого класу задач про максимальну швидкодію.

2. Задача про максимальну точність відтворення.

Нехай структура системи управління є такою як в попередньому випадку. На відрізку часу де фіксована величина, вхідний сигнал описується в складі якого невідомі величини. Збурення можна вважати випадковим стаціонарним процесом з відомими ймовірними властивостями. Треба знайти таку імпульсну характеристику УП, при якій система управління при максимально відтворить вхідний сигнал і максимально зменшить вплив випадкового збурення на процес управління. Ці властивості системи можна зобразити співвідношеннями:

(1.21)

де викликана збуренням складова вихідного процесу системи. символ усереднення. Перший вираз показує що система при безпомилково відтворює вхідний сигнал, другий вираз говорить про те що система має максимальну потужність відтворення (випадкова складова на виході системи викликана збуренням має мінімальну дисперсію).

3. Задача про оптимізацію кінцевого стану.

Нехай об'єкт управління - метеорологічна ракета, що стартує у вертикальному напрямку і характеризується трьома змінними стану: -висотою розміщення ракети над землею; - швидкістю польоту; – масою. Рух ракети в цих термінах стану описується рівняннями

(1.22)

де m - секундна витрата палива; c - коефіцієнт пропорційності, який визначає залежність тяги двигунів ракети від витрати палива; D - сила лобового опору, яка залежить від швидкості і висоти польоту;

- прискорення вільного падіння, що залежить від висоти.

Початковий стан ракети визначається очевидними співвідношеннями ; ; , де - початкова маса ракети. Після вигоряння палива ракета деякий час продовжує по інерції рухатися вгору і до моменту досягає кінцевої висоти . Потрібно так керувати тягою ракети, що в даному випадку те ж саме, чи секундною витратою палива , щоб ракета за час (де -невідома величина) піднялася на максимальну висоту, тобто щоб виконувалася умова

(1.23)

при додаткових обмеженнях

(1.24)

у складі яких - маса палива, що знаходиться на ракеті; - максимально можлива витрата палива; – маса ракети без палива.

У цій задачі роль управління грає тяга двигуна, область допустимих управлінь задана у формі обмежень на витрату палива, а критерій оптимальності зведений до умови максимуму однієї з змінних стану в кінцевий момент часу. Задачі, у яких максимізується чи мінімізується кінцевий стан об'єкту, прийнято називати термінальними.

4. Задача про мінімальну витрату палива.

Попередню задачу можна сформулювати інакше. Нехай задано початковий стан ракети ; ; і висота підйому ракети . Потрібно визначити такий закон зміни тяги двигуна, тобто витрати палива , підлеглий обмеженню , при якому кількість палива, витрачена на підйом на висоту , виявиться найменшим. У даному випадку критерій оптимальності має вид

(1.25)

і досягається гранична умова (де - надалі невідома величина).

5. Задача про мінімальні енергетичні витрати.

Нехай маємо об'єкт у вигляді матеріальної точки і до нього прикладений вплив . Об'єкт переміщується відповідно до рівнянь , .Задані початковий , і кінцевий , стани об'єкта, причому Т - невідома величина. Потрібно за час об'єкт перемістити з початкового стану в кінцевий так, щоб енергетичні витрати на управління, що приводить до необхідного переміщення об'єкту, виявилися найменшими. Ці витрати пропорційні інтегралу квадрату управління. Тому переміщення об'єкту із заданого початкового у заданий кінцевий стан буде здійснено за час з найменшими витратами при використанні критерію оптимальності

. (1.26)

Читайте також:

1. ERP і управління можливостями бізнесу
2. H) інноваційний менеджмент – це сукупність організаційно-економічних методів управління всіма стадіями інноваційного процесу.
3. III. КОНТРОЛЬ і УПРАВЛІННЯ РЕКЛАМУВАННЯМ
4. Oracle Управління преміальними
5. А. Видання прав актів управління
6. Абстрактна модель оптимального планування виробництва
7. АВТОМАТИЗОВАНІ СИСТЕМИ ДИСПЕТЧЕРСЬКОГО УПРАВЛІННЯ
8. АВТОМАТИЗОВАНІ СИСТЕМИ УПРАВЛІННЯ ДОРОЖНІМ РУХОМ
9. Адаптивні організаційні структури управління.
10. Адміністративне право і державне управління.
11. Адміністративний устрій і управління в українських землях під час татаро-монгольського панування.
12. Адміністративні методи - це сукупність прийомів, впливів, заснованих на використанні об'єктивних організаційних відносин між людьми та загальноорганізаційних принципів управління.

Переглядів: 750