• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Проектуючи площини.

Площина, перпендикулярна до однієї площини проекцій, називається проектуючою.

Рисунок 30

На рис. 30 – наочне зображення трьох випадків положення проектуючих площин, що проводять через грань призми.

Горизонтально проектуюча площинаs (рис. 31 а),тобто площина, яка перпендикулярна до площини П₁. Із площинами П₂ і П₃ площина s утворить довільні кути.

Горизонтально проектуюча площина s на комплексному кресленні зображується прямою лінією – горизонтальною проекцією.Горизонтальні проекції ліній і фігур, що належать до площини s, збігаються з її горизонтальною проекцією s₁, дві інші проекції зображуються не рівними дійсній величині.

а	б	в
Рисунок 31

Фронтально проектуюча площина d (рис 31 б), тобто площина, перпендикулярна площини П₂. Із площинами проекцій П₁, П₃ площина d утворить довільні кути. Фронтально проектуюча площина d на комплексному кресленні зображується прямою лінією – фронтальною проекцією d₂.

Фронтальні проекції ліній і фігур, що належать до площини d збігаються з її фронтальною проекцією d₂, інші проекції зображуються не рівними дійсній величині.

Профільно проектуюча площина, h' (рис 31 в), тобто площина, перпендикулярна до площини П₃. Ізплощинами проекцій П₁ і П₂ вона має довільні кути. Профільна проекція зображується прямою лінією – профільною проекцією h'₃. Профільні проекції ліній і фігур, що належать до площини h'|, збігаються з її профільною проекцією h'₃, інші проекції зображуються з перекручуваннями.

Площина, паралельна до якої-небудь площини проекцій, називається площиною рівня.Всі точки площини рівня рівно віддалені від відповідної площини проекцій.

Фронтальна площина рівня m,тобто площина, паралельна площини П₂ і перпендикулярна площинам П₁ та П₃ .

Горизонтальна площина рівня l, тобто площина, паралельна до площини П₁ і перпендикулярна площинам П₂ і П₃.

Профільна площина рівня n', тобто площина, паралельна до площини П₃ і перпендикулярна площинам П₁ та П₂.

	Площини рівня, паралельні до однієї площини проекцій, у той же час перпендикулярні двом іншим площинам.   Їх називають тому двоякопроектуючими.Внаслідок цього площини рівня на комплексному кресленні зображуються своїми проекціями – прямими, паралельними відповідним осям проекцій.   Проекції m1 і m3 фронтальної площини рівня m паралельні осям проекцій х і z (рис. 32а); проекції l2 і l3 горизонтальної площини рівня l паралельні осям проекцій x і y (рис. 32б); проекції n1 і n3, профільної площини рівня n; паралельні осям z і y, (рис. 32в).   Особливість площин рівня полягає в тому, що пряма, крива лінія або фігура, що належать цим площинам, проектуються на паралельну їй площину проекцій без перекручування, тобто в дійсну величину, а на дві інші – прямими лініями, що збігаються із проекціями даної площини.
а
б
в
Рисунок 32

4.5 Пряма і точка в площині

З геометрії відомо, що пряма належить площини в тому випадку, якщо вона проходить: через дві точки, що належать цієї площині; через точку площини паралельно будь-якої прямої цієї площини.

Пряма п належить площині П₁ тому що вона проходить через дві точки А та В, що належать площини П₁, (рис. 33 а).

Пряма т також належить площині П₁, тому що вона проходить через точку Е, що належить площини П₁ і паралельна прямій СD також приналежної цієї площині (рис. 33 б).

а	б
Рисунок 33

	На комплексному кресленні (рис. 34) площина загального положення задана трикутником АВС. Потрібно побудувати пряму, що належить цієї площині. Горизонтальна проекція а1, прямій а дана, вона перетинає проекції А1В1 і А1С1 сторін трикутника АВС у точках М та N(М1 і N1). Порядок побудови: визначають за допомогою вертикальних ліній зв'язку
Рисунок 34

N₁N₂ і М₁М₂ фронтальні проекції N₂ і М₂ точок N і М; через проекції N₂ і М₂ проводять пряму – фронтальну проекцію а₂ прямої а.

Пряма а належить площині трикутника, тому що дві її точки N і М належать трикутнику АВС.

Точка в площині

Точка належить площині, якщо вона лежить на прямій, що належить площині.

На рис 35. точка М належить площині трикутника АВС, тому що вона лежить на медіані ВD трикутника.

	Отже, щоб на комплексному кресленні побудувати точку, що належить площині, треба попередньо побудувати проекції прямої, що належить площині, а потім проекції точки на цих проекціях.
Рисунок 35

Визначення точки в площині.

Розглянемодва приклади, коли точка D належить до площини загального положення (рис. 36,а) і фронтально проектуючої площини (рис. 36, б).

а	б
Рисунок 36

У першому випадку необхідний посередник – прямаNМ; у другому – посередник не потрібен, тому що одна із проекцій точки завжди буде знаходитися на проекції проектуючої площини.

Площина загального положення задана трикутникомАВС і поза ним задана точкаD.

Треба перевірити, чи належить точка D площині трикутника ABС (рис. 37).

Рисунок 37

Порядок перевірки:

– проводять через будь-яку проекцію точки, наприклад, через D₂, допоміжну пряму f₂, що перетинає фронтальні проекції двох сторін трикутника в точках М₂ і N₂;

– визначають за допомогою лінії зв'язку горизонтальні проекції М₁ і N₁, точок М и N;

– проводять через точки М₁ і N₁ пряму – горизонтальну проекцію, допоміжної прямої f; проекція f₁ прямої не пройшла через проекцію D₁, точки D; отже, точка Dне належить площині трикутника АВС, тому що одна з її проекцій D₁, не лежить на однойменнійпроекції f₁, прямої f, що належить площині трикутника АВС.

4.6 Проекції плоских фігур

Плоскими фігураминазиваються фігури, всі точки яких належать одній площині. Контури фігур, обмежені прямими лініями, називають прямолінійними(трикутники, чотирикутники й багатокутники), а контури фігур, яки обмежені кривими лініями – криволінійними(коло, овали, еліпси й ін.). Побудова плоских фігур зводиться до побудови проекцій точок контуру фігур і послідовному їхньому з'єднанню відповідними лініями.

Проекції фігури можуть бути:

фігурою, що дорівнюєфігурі, що проектується, якщо вона розташована в площині рівня, тобто паралельно площині проекцій;

відрізком прямої,якщо вона розташована в проектуючий площині, тобто перпендикулярної до площини проекцій;

фігурою, що не дорівнюєфігурі, що проектується (менше), якщо вона розташована в площині, похилої до площини проекцій.

а	б	в
Рисунок 38

На комплексному кресленні (рис. 38) наведене проектування трикутника АВС, коли його площина по-різному розташована до площин проекцій. По проекціях трикутника можна визначити його положення щодо площин проекцій:

– площина трикутника паралельна площині проекцій П₁, (рис. 38 а);

– площина трикутника перпендикулярна площині проекцій П₁, (рис. 38 б);

– площина трикутника розташована під довільним кутом до площин проекцій П₁, П₂ і П₃ (рис. 38 в).

Проектування чотирикутника.Проектуючи плоский чотирикутник (або багатокутник), виконується умова приналежності всіх точок проектуючої фігури до однієї площини.

Якщо є проекції А₂В₂С₂D₂ і А₁В₁С₁D₁), (рис. 39) чотирикутники АВС D, то для перевірки його площинності потрібно на проекціях провести діагоналі, і якщо точки їхнього перетину будуть знаходитися на одній вертикальній лінії зв'язку, то чотирикутник буде плоским. У цьому випадку, точки М₂ і М₁, не знаходяться на одній лінії зв'язку, отже, діагоналі чотирикутника не перетинаються й не належать його площині. Звідси – заданий проекціями чотирикутник, не плоска фігура.

Рисунок 39

На рис. 40 наведені проекції плоского чотирикутника АВС. Діагоналі АС і ВD перетинаються, підтверджуючи площинність чотирикутника.

Проектування багатокутника.Нехай площина багатокутника задана його фронтальною проекцією А₂В₂С₂D₂Е₂ та горизонтальною проекцією В₁А₁ і А₁Е₁ двох його суміжних сторін (рис. 41).

Рисунок 40

Для побудови повної горизонтальної проекції багатокутника з'єднують прямою точки В2 з Е2 та В1 з Е1. Отримують проекції діагоналі ВЕ, потім із точки А2 проводять прямі, з'єднуючи точки А2 з С2 та А2 з D2 – фронтальні проекції діагоналей АС и АВ. Вони перетнуться в точках М2 і N2 із проекцією В2Е2 діагоналі. Після знаходять горизонтальні проекції М1 і N1 точок М, N і із точки А1 через точки М1 і N1 проводять промені.

Рисунок 41

На променях визначають відсутні горизонтальні проекції D₁ і С₁, вершин D і С. З'єднують прямими лініями точки D₁ із С₁, С₁ з D₁ і D з E₁ одержують повну горизонтальну проекцію А₁В₁С₁D₁Е₁, багатокутника АВСDЕ.

Проектування кола. Проекції кола можуть бути:

– окружністю (контуром кола), коли площина кола паралельна площині проекцій;

– відрізком прямої, коли площина кола перпендикулярна площині проекцій;

– еліпсом, коли площина кола розташована під деяким кутом до площини проекцій.

На рис. 42 а наведені проекції кола, площина якого паралельна до площини П₁, внаслідок чого горизонтальна проекція зображується без перекручування, колом, а фронтальна проекція відрізком прямої, рівним діаметру кола, паралельно осі проекцій x. На рис. 42 б наведені проекції кола, площина якого паралельна площині П₂. Побудова проекцій кола, розташованого у фронтально проектуючій площині d, наведена на рис. 43 .

а	б
Рисунок 42

Побудова проекцій зводиться до зображення проекцій двох перпендикулярних діаметрів АВ і СD окружності (контуру кола).

Діаметр СD паралельний до площини П1, і перпендикулярний до площини П2. Горизонтальна проекція С1D1 – відрізок прямої (більша вісь еліпса), дорівнює діаметру кола, перпендикулярний до осі x. Фронтальна проекція С2D2 збігається із точкою О2 – проекцією центра кола. Діаметр АВ паралельний до площини П2 і нахилений до площини П2. Фронтальна проекція А2В2 – відрізок прямої, дорівнюючий діаметру кола, що збігається із проекцією d2 площини d. Горизонтальна проекція А1В1 – відрізок прямої (мала вісь еліпса), паралельної осі проекції x. По отриманих осях А1В1 і С1D1, еліпса робимо його побудову (відоме з геометричного креслення).

Рисунок 43

4.7 Прямі особливого положення в площині

До числа особливих прямих у площині ставляться: горизонталь, фронталь і лінія ската. Розглянемо дві перші з них.

Горизонталь площини – пряма, що належить даній площині й паралельна горизонтальній площині проекцій П₁.

а	б
Рисунок 44

На рис. 44 а наведене наочне зображення положення горизонталі в площині b загального положення, а на рис. 44 б побудова горизонталі на комплексному кресленні. Умовимося фронтальну проекцію горизонталі позначати ФПГ, а горизонтальну проекцію горизонталі – ГПГ. На сліді b₂ площини b узята довільна точка N (N₁N₂) – слід горизонталі. Через точку N₂, проводять пряму паралельно осі проекцій х фронтальну проекцію (ФПГ) горизонталі, а із точки N₁ – пряму паралельно проекції сліду b₁ сліду b – горизонтальну проекцію (ГПГ) горизонталі. Пряма, проведена через точку N паралельно сліду b₁, належить площині b і є горизонталлю цієї площини.

Характерні ознаки розташування проекцій горизонталі на комплексному кресленні:

– горизонтальна проекція, горизонталі (ГПГ), паралельна проекції b₁ горизонтального сліду к площини b;

– фронтальна проекція горизонталі (ФПГ) паралельна осі проекції х.

Горизонталі даної площини (а їхня множина) паралельні між собою. Паралельні і їхні однойменні проекції.

Фронталь площини – пряма, що належить даній площині й паралельна фронтальній площині проекцій П₂. На рис. 45 а наведене наочне зображення положення фронталі в площині b загального положення, а на рис. 45 б – побудова на комплексному кресленні.

а	б
Рисунок 45

Умовимося фронтальну проекцію фронталі позначати ФПФ, а горизонтальну проекцію фронталі – ГПФ. На сліді b₁ площини b узята точка М(М₁ і М₂) – слід фронталі. Через точку М₁ проводять пряму паралельно осі проекцій х горизонтальну проекцію фронталі (ГПФ), а із точки М₂ – пряму паралельно проекції b₂ сліду b – фронтальну проекцію фронталі (ФПФ). Пряма, проведена через точку М паралельно сліду b₂, належить площині b і є фронталлю цієї площини. Характерні ознаки розташування проекцій фронталі на комплексному кресленні:

– горизонтальна проекція фронталі (ГПФ) паралельна осі проекцій х;

–фронтальна проекція фронталі (ФПФ) паралельна проекції b₂ фронтального сліду b площини b.

а	б
Рисунок 46

Особливі лінії в проектуючих площинах. Характерні ознаки розташування горизонталей на комплексному кресленні.

Горизонтально проектуюча площина s;

Горизонталь (рис. 46 а) ФПГ – паралельна осі х;

ГПГ – на проекції s₁, сліду площини s (рис. 46 б).

Фронталь(рис. 47 а) ФПФ перпендикулярна осі х;

а	б
Рисунок 47

ГПФ – точка на проекції s₁ площини s (рис. 47 б).

Фронтально проектуюча площина d.

а	б
Рисунок 48

Горизонталь (рис. 48 а) ФПГ – точка на проекції d₁ площини d ;

ГПГ – перпендикулярна осі х (рис. 48 б).

Фронталь (рис. 49 а) ФПФ – на проекції d₂ площини d;

ГПФ – паралельна осі х (рис. 49 б).

Лінія найбільшого нахилу, лінія скату

До прямих, що займають особливе положення в площині відносять горизонталі, фронталі, профільні прямі й лінії найбільшого нахилу до площин проекцій. Ці лінії називають головними лініями площини.

а	б
Рисунок 49
а	б
Рисунок 50

Лініями найбільшого нахилу площини до площин П₁, П₂, П₃ називають прямі, що лежать у ній і перпендикулярні або до горизонталей площини, або до їх фронталей, або до їх профільних прямих. Відповідно визначається нахил площини до площин П₁, П₂, П₃.

Лінія найбільшого нахилу до площини П₁, називається лінією скату. Лінія скату MN площини s , заданої слідами показана на рис. 50. Відповідно до правил проектування прямого кута M₁N₁ перпендикулярна s. Тому кут MNM₁ є лінійний кут двогранного кута, утвореного площинами s і П₁. Отже, лінія скату площини може служити для визначення кута нахилу цієї площини до площини проекції П₁. Кут між лінією скату і її горизонтальною проекцією є лінійним кутом між площиною, який належить лінія скату, і площиною проекцій П₁.

4.8 Взаємне положення прямої і площини

Пряма, паралельна до площини. З геометрії відомо: пряма паралельна до площини, якщо вона (пряма) паралельна якій-небудь прямій, що належить до цієї площині.

	Пряма СD паралельна до площини П1 тому що вона паралельна прямій АВ, що належить площині П1, тому, що дотримано умову – СА =DВ; СD//АВ (рис. 51). У тому випадку, коли треба через дану точку провести пряму, паралельну до даної площини, спочатку в даній площині
Рисунок 51

проводять довільну пряму, а потім уже через задану точку проводять пряму, їй паралельну.

Через задану точку М треба провести пряму, паралельну до площини трикутника АВС (рис. 52). У площині трикутника АВС (А₁В₁С₁ і А₂В₂С₂) проводять довільну пряму ЕF(Е₁F₁, Е₂F₂), а потім через дану точку М(М₁ М₂) проводять пряму МN(М₁М₂, N₁N₂) паралельно до прямої ЕF. Пряма МN буде паралельна до площини трикутника, тому що вона паралельна прямій ЕF, що належить до площини трикутника АВС. Для проведення прямої паралельно до площини можна використовувати особливі лінії площини (горизонталь або фронталь).

Рисунок 52

На рис. 53 наведене комплексне креслення, коли як допоміжна лінія використана фронталь. Спочатку зображують проекції фронтали, а потім – проекції прямої лінії паралельно проекціям фронтали.

Рисунок 53

Пряма МN паралельна до площини трикутника АВС, тому що однойменні горизонтальні й фронтальні проекції прямої й фронтали паралельні (М₂N₂ || А₂К₂; М₁N₁ || А₁К₁).

4.9 Взаємне розташування площин

Паралельні площини.Дві площини паралельні, якщо дві пересічні прямі однієї площини паралельні двом пересічним прямим іншої площини. Площини b і b' паралельні між собою, тому що пересічні прямі АВ, ВC і DЕ, ЕF паралельні (рис. 54).

Рисунок 54

Дві паралельні площини перетинаються із третьою площиною по паралельних прямих.

Рисунок 55	Рисунок 56

Коли дві площини паралельні, то їхні однойменні сліди також паралельні (рис. 55). Площини b і b' загального положення паралельні між собою. Їх однойменні фронтальні (l і l') горизонтальні (к й к') і профільні (h і h') сліди паралельні. На комплексному кресленні паралельних площин всі три проекції слідів повинні бути відповідно паралельні. На рис. 56 – комплексне креслення двох паралельних площин b і b' загального положення. Однойменні проекції їхніх слідів паралельні: l₂ || l'₂ ; к₁ || к₁'.

Паралельність проекцій слідів на двох площинах проекцій не завжди доводить паралельність площин.

а	б
Рисунок 57

На рис. 57 дві профільно проектуючі площини, h и |h' задані паралельними однойменними проекціями слідів на площинах проекцій П₁ і П₂. Але вони не можуть визначати паралельність площин h і |h'. Треба побудувати проекції слідів цих площин на третю площину проекцій П₃, і якщо вони виявляться паралельними, то й задані площини паралельні (рис. 57 а). Профільні проекції h₃ і |h₃' перетинаються. Із цього випливає, що задані двома паралельними проекціями слідів площини h і |h' у цьому випадку не паралельні (рис. 57 б).

Пересічні площини.Якщо площини не паралельні, то вони перетинаються по прямій лінії, яка одночасно належить обом площинам. Пряма визначається двома точками. Якщо з'єднати прямою дві точки, одночасно приналежні кожної із площин, то пряма буде належати обом площинам і буде їхньою лінією перетину. Так, пряма МN, по якій перетинаються площини трикутників АВС і DЕ (рис. 58), проходить через точки М та N.

Точки М та N належать як площині, заданою трикутником АВС, так і площині, заданою трикутником DЕF. Точки перетину проекцій однойменних слідів даних площин будуть загальними точками пересічних площин.

На рис. 59 а наведені пересічні площини g та b загального положення. Однойменні фронтальні сліди l₂ і l'₂ площин g і b перетинаються в точці N, а однойменні горизонтальні сліди к та к' – у точці М.

Рисунок 58
а	б
Рисунок 59

Отже, точки М та N належать як площині b, так і площині g. Пряма, що проходить через точки М та N є лінією перетину площин g і b.

Знаходження лінії перетину пересічних площинg і b загального положення, заданих проекціями слідів (рис. 59 б). Визначають проекції точок N і М перетину однойменних проекцій l₂l₂' і к₁к₁' прямих, що належать одночасно площинам g і b. У той же час точка N належить і площині П₂, фронтальна проекція N₂ збігається із самою точкою, а горизонтальна N₁ лежить на осі x. Точка М належить площині П₁, горизонтальна проекція М₁ збігається із самою точкою, а фронтальна М₂ лежить на осі х. Однойменні проекції И₂М₂ і И₁М₁ прямої ИМ – лінії перетину площин g і b.

Знаходження лінії перетину площин b (загального положення) і s (горизонтально проектуючої) (рис. 60).

а	б
Рисунок 60

Будують проекції точок N і М перетину слідів площин b і. З'єднують отримані однойменні проекції М₂ з N₂ і М₁ з N₁ прямими лініями, які виявляють проекції М₂N₂ і М₁N₁ лінії перетину площин b і s. Помітимо, що горизонтальна проекція М₁N₁ лінії перетину МN, як розташована в горизонтально проектуючій площині, зливається із проекцією s₁ площини s.

4.10 Перетин прямої із площиною

Коли пряма не належить площини й не паралельна їй, то вона перетинає цю площину. Дані пряма АВ і площина П₁ (рис. 61).

Для визначення точки, у якій пряма АВ перетинає площину П1 потрібно:

– провести через пряму АВ яку-небудь допоміжну площину-посередник (краще проектуючу). У цьому випадку візьмемо горизонтально проектуючу площину s;

– знайти лінію перетину МN, по якій допоміжна площина s перетинає площину П₁;

– визначити точку К перетину прямої АВ із площиною проекцій П₁.

а	б
Рисунок 61

Перетин прямої загального положення із проектуючою площиною.На рис. 62 зображена пряма загального положення АВ, що перетинає горизонтально проектуючу площину s.

Розглянемо перетин прямої АВ загального положення з горизонтально проектуючою площиною s. Треба визначити, як побудовані проекції К₁ і К₂ точки їхнього перетину. Горизонтальна проекція К₁ виявляється без побудови, вона знаходиться в точці перетину горизонтальної проекції А₁В₁ прямої АВ із проекцією s₁ площини s.

Фронтальна проекція К₂ визначається вертикальною лінією зв'язку К₁К₂ проведеної із точки К₁, і розташовується на фронтальній проекції А₂В₂ прямій АВ.

а	б
Рисунок 62

Перетин прямої загального положення із площиною загального положення.

На комплексному кресленні (рис. 63) пряма ЕF (Е₁F₁ Е₂F₂) загального положення перетинає площину загального положення, задану трикутником ABС(А₁В₁С₁ А₂В₂С₂).

Рисунок 63

У цьому випадку допоміжною площиною (посередником) є фронтально проектуюча площина s(s₂), що перетинає площину трикутника по відрізку МN ( М₁N₁ М₂N₂).

Перетин горизонтальної проекції М₁N₁, відрізка МN згоризонтальною проекцією Е₁F₁ даного відрізка ЕF з'явиться горизонтальною проекцією точки перетину К с площиною, заданою трикутником АВС. Фронтальна проекція К₂ випливає шляхом проведення вертикальної лінії зв'язку К₁К₂ із точки К₁ до перетину із фронтальною проекцією М₂N₂ відрізки МN.

Перетин горизонтально проектуючої прямої із площиною загального положення.

На комплексному кресленні (рис. 64) – горизонтально проектуюча пряма, i (i₁i₂) перетинає площина загального положення, задану трикутником АВС (А₁В₁С₁ А₂В₂С₂). У цьому випадку взята горизонтально проектуюча площина s(s₁), що проходить через проекцію В₁ – вершину В трикутника АВС (для зручності побудови) і горизонтальну i₁ проекцію прямої i.

Горизонтальна проекція К₁ точки перетину прямої із заданою площиною збігається з горизонтальною проекцією i.

Рисунок 64

Фронтальна проекція лежить у точці К₂ перетину фронтальної проекції М₂N₂ із проекцією i₂, що задана прямою i.

5 Способи перетворення проекційного креслення

5.1 Спосіб обертання.

Спосіб обертання полягає в тому, що геометричний елемент, що проектується, (точка, пряма, фігура та ін.) переміщають із загального

положення в частинне для вирішення поставленої задачі. Нехай точка А обертається навколо осі i (рис. 65), тоді:

– шлях, (траєкторія) обертання точки А лежить у площині обертання(ПО), перпендикулярної осі обертання i;

	– точка О перетину осі обертання i із площиною обертання (ПО) є центром обертання; – пряма, що з'єднує точку А с точкою О, центром обертання, називається радіусом обертання.Шлях обертання точки А є колом. При побудові проекцій точки проектується і її траєкторія шляху. Точка обертального елемента, що лежить на осі обертання, залишається нерухомою.
Рисунок 65

Обертання точки.На рис. 66 а, – наочне зображення обертання точки М навколо осі i, перпендикулярної до площини П₁. Точка М обертається в горизонтальній площині рівня l.

а	б
Рисунок 66

Траєкторія рухомої точки М – коло, що проектується на площину П₁, без перекручування колом тому, що лежить у площині, паралельній до площини П₁, а на площину П₂ –відрізком прямої, що збігається із проекцією l₂ площини l. Таким чином, якщо вісь обертання перпендикулярна до площини П₁, те проекція М₁ точки М буде переміщатися по колу, проекція М₂ – по прямій, паралельній осі х (рис. 66 б).

Дії залишаються аналогічними, якщо вісь обертання перпендикулярна до площини проекцій П₂. Якщо вісь обертання i, перпендикулярна до площини П₂, то проекція N₂ точки N буде переміщатися по колу, а проекція N₁ по прямій, паралельній осі х.

На рис. 67 виконаємо комплексні креслення обертання точок А та В. Точку А повернемо на 135° по руху годинникової стрілки навколо осі,перпендикулярної до площини П₁, а точку В на 93° проти годинникової стрілки навколо осі i перпендикулярної до площини П₂.

Побудова для точки А. Із точки О₁, радіусом О₁А₁ проводять дугу в заданому напрямку, потім відкладають кут 135°, одержують точку – горизонтальну проекцію переміщеної точки А. Із точки А₁ проводять вертикальну лінію зв'язку до перетину в точці з горизонтальною лінією зв'язку, проведеної із точки А₂. Точка – фронтальна проекція переміщеної точки А. Аналогічний порядок побудови і для точки В.

а	б
Рисунок 67

Обертання відрізка прямої.Пряма визначається двома точками, тому задача зводиться до обертання двох довільних точок прямої на той самий кут і проведенню прямої через повернені точки.

Задача значно спрощується, якщо вісь обертання провести через одну із крайніх точок відрізка. Потрібно повернути тільки другу крайню точку відрізка, тому що перша точка знаходиться на осі обертання і не змінить свого положення. З'єднують прямою повернену точку з нерухомою, одержують нове положення відрізка.

Визначення дійсної величини відрізка.

Уданому прикладі мета обертання відрізка прямої загального положення – визначення його дійсної величини. На рис. 68 методом

	обертання визначена величина відрізка АВ прямої загального положення. Проекцію А1В1 обертають до паралельного положення до осі х, потім визначають нову фронтальну проекцію А2 відрізки АВ, для цього із точки проводять вертикальну лінію зв'язку, а із точки В2 – горизонтальну пряму лінію. Точка їхнього перетину – фронтальна проекція переміщеної точки В. З'єднують прямою точку з нерухомою точкою А2.
Рисунок 68

Проекції А₁ – нові проекції поверненого відрізка АВ.

Проекція А₂– дійсна величина відрізка АВ.

Визначення натуральної величини фігури, розташованої в проектуючий площині.

Виконаємо (рис. 69 ) – комплексне креслення знаходження дійсної величини трикутника АВС, розташованого в горизонтально проектуючий площині s.

Горизонтальну проекцію А₁В₁С₁ трикутника АВС повертають до паралельного положення до осі х. Пряма – горизонтальна проекція поверненого трикутника. Із точок і проводять вертикальні лінії зв'язку, а із точок В₂ і С₂ горизонтальні прямі лінії. Перетин проведених ліній зв'язку, точки та з'єднують прямими лініями із точкою А₂. Отриманий трикутник – фронтальна проекція трикутника АВС, вона виявляє його дійсну величину, по якій можна визначити форму, площу, довжину сторін і величину кутів трикутника.

Рисунок 69

5.2 Спосіб сполучення.

Спосіб сполучення полягає в тому, що площина, задану слідами, обертають навколо одного із слідів цієї площини до сполучення з відповідною площиною проекцій.

Рисунок 70	Рисунок 71

Тоді всі лінії й фігури, що лежать у заданій площині, зобразяться на відповідних площинах проекцій без перекручування. Горизонтальний слід площини є однією з її горизонталей, а фронтальний слід – однією з її фронталей, отже, обертання

розглядати як окремий випадок способу обертання. Обертаючи задану площину d навколо її горизонтального сліду, площину сполучають із площиною проекцій П₁, (рис. 70),а обертаючи задану площину s навколо її фронтального сліду – із площиною проекцій П₂ (рис. 71).

Сполучення проектуючих площин виконується досить просто, тому що сліди їх у просторі утворять прямий кут. Він зберігається і при сполученні.

Сполучення проектуючих площин,у яких лежать фігури.

Сполучення фронтально проектуючої площини d з розташованим у ній чотирикутником із площиною проекцій П₁(рис. 72). За вісь обертання приймають горизонтальний слід площини d. Фронтальна проекція d₂ площини d разом із фронтальною проекцією А₂В₂С₂D₂ чотирикутника за допомогою дуг, проведених відповідними радіусами із точки Е, сходу слідів, як із центра, сполучаться з віссю х (d₂). Із точок проводять прямі перпендикулярно, а із точок А₁В₁С₁D₁ – паралельно осі х.

Рисунок 72

У перетині прямих одержують точки – сполучені горизонтальні проекції вершин чотирикутника.

З'єднані послідовно прямими лініями точки дадуть фігуру, рівну дійсній величині заданого чотирикутника, по якій можна визначити його форму, довжину сторін і величину кутів чотирикутника.

Сполучення фронтально проектуючої площини d з розташованим у ній чотирикутникоміз площиною проекції П₂ (рис. 73). Сполучають горизонтальний слід площини d ізплощиною проекцій П₂. Для цього проводять пряму із точки Е перпендикулярно до проекції d₂ площини d.

Рисунок 73

На сполученому сліді за допомогою відповідних дуг, проведених із точки Е, як із центра, одержують точки А₀D₀В₀С₀. Із точок D₂C₂А₂В₂ проводять прямі перпендикулярно, а із точок А₀D₀В₀С₀ – паралельно проекції d₂. У перетині прямих одержують точки – сполучені фронтальні проекції вершин чотирикутника. З'єднані послідовно прямими лініями точки – дадуть фігуру, рівну дійсній величині заданого чотирикутника, по ній можна визначити форму, площу, сторони і величину кутів чотирикутника.

5.3 Спосіб зміни площин проекцій.

Спосіб зміни площин проекцій полягає в тому, що основну систему площин проекцій, у якій є проекції оригіналу, заміняють новою системою двох взаємно перпендикулярних площин, причому положення оригіналу залишається колишнім.

На рис. 74 а, б наведені приклади переходу системи площин проекцій П₁П₂ до систем П₁П₄ і П₂П₄, щораз у новій системі площин проекцій з'являється нова вісь проекцій – пряма лінія перетину площин проекцій. На рис. 75 а, б наведені приклади їхнього утворення і позначення.

а	б
Рисунок 74

а	б
Рисунок 75

Помітимо, що не можна заміняти дві площини проекцій відразу, заміну площин можна робити тільки в послідовному порядку.

Заміна фронтальної площини проекцій.На рис. 76 – наочне зображення системи П₁П₂ і точка А в просторі. Замість площини П₂ узята нова площина П₄, перпендикулярна до П₁. Утворилася нова система площин П₁П₄ з новою віссю s. Провівши через точки проектуючий промінь на площину П₄, одержимо нову проекцію А₄ точки А.

На наочному зображенні видно, що залишаються незмінними:

– горизонтальна проекція А₁;

– висота А₂А₁₂ точки А, тобто координата z_А.

Перейдемо до комплексного креслення. На рис. 77 дано комплексне креслення побудови проекції точки А на площині П₄.

Рисунок 76	Рисунок 77

Проводять нову вісь s₁₄, а із точки А₁ перпендикулярно до осі проводять лінію зв'язку і на ній від точки А₁₄ відкладають відрізок А₁₄А₂=А₁₂А₂. Точка А₄ нова проекція точки А на площині П₄. Прямі А₂А₀ і А₀А₄ – лінії зв'язку, а бісектриса k – стала пряма креслення.

Заміна горизонтальної площини проекції. На рис. 78 – наочне зображення проектування точкина нову площину проекцій П₄ (система

Рисунок 78	Рисунок 79

П₂П₄). Побудова комплексного креслення аналогічна попередньому.

У цьому випадку незмінними залишаються проекція А₂ і координата y (рис. 79). Познайомившись із побудовою нових проекцій точок при зміні площин проекцій, можна побудувати нові проекції ряду точок, тобто лінії і плоскі фігури.

Задачі, розв'язувані способом зміни площин проекцій.

Приклад 1.Задача перетворення – визначити довжину відрізка.

Застосування системи П1П4 (рис. 80). На комплексному кресленні площина П2 замінена площиною П4. Причому нова площина повинна бути паралельна відрізку АВ, тоді нова вісь s повинна розташуватися паралельно до горизонтальної проекції А1В1 (проводиться на будь-якій відстані від проекції А1В1). Проектують точки А та В на площину П4, одержують проекції А4 і В4. З'єднують ці точки прямої. Нова проекція відрізка АВ буде дорівнювати його дійсній величині. Координати z точок А та В залишаються незмінними.

Рисунок 80

Читайте також:

1. Взаємне розташування прямої та площини.
2. Взаємне розташування прямої та площини.
3. Нормальне рівняння площини.
4. Перетин геометричних тіл проектуючими площинами

Переглядів: 5763