МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах
РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ" ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів Контакти
Тлумачний словник |
|
||||||||||
Математичні моделі об’єктівЛекція №6
Попередньо показано, що об’єктом ідентифікації є все те, що пізнається внаслідок аналізу інформації, яку отримують у процесі оброблення даних. Дані отримують у процесі вимірювання змінних на деякому кінцевому інтервалі спостереження, а також у процесі обчислення відомих функцій, які задають аналітично або алгоритмічно. При ідентифікації отримують інформацію у найбільш стислому вигляді. Цього досягають внаслідок побудови математичних моделей. При цьому будують моделі двох типів. Перший тип – це математичні моделі, які детально описують внутрішні і зовнішні процеси у об’єкті. Такі моделі опосередковано імітують об’єкт, тому їх називають імітаційними. Другий тип – це математичні моделі, які ґрунтуються на взаємозв’язку виміряних або обчислених змінних. Такі моделі дозволяють отримати передбачуване значення виходів об’єкта із заданою точністю. Математичні моделі відрізняються, як правило, простотою опису, порівняно з імітаційними моделями. Надалі будемо розглядати тільки математичні моделі другого типу. Цей тип математичних моделей будують виходячи з таких міркувань. Вихідний сигнал досліджуваного лінійного об’єкта y0(t) можна подати у вигляді суми двох складових – вільної і вимушеної: yвіл(t) і yвим(t), тобто:
y0(t) = yвіл(t) + yвим(t). Вільна складова характеризує перехідний процес, а отже, і вагову функцію K(t), яку можна записати як реакцію досліджуваного об’єкта на вхідний сигнал типу дельта-функції σ(τ), тобто:
K(t)= yвіл (σ(τ),t),
де: τ – час, якийвизначає момент прикладання вхідного сигналу дельта-функції σ(τ) до входу досліджуваного об’єкта.
Вагова функція K(t) є розв’язком відповідного диференціального або інтегрального рівняння, яку можуть задавати у неперервній або дискретній формі. Тому математична модель вільної складової може мати різні форми запису, які відрізняються як структурою, так і параметрами. Вибір математичної моделі залежить від поставленої дослідником задачі і його індивідуальних особливостей. Вимушена складова yвим(t) є реакцією досліджуваного об’єкта у встановленому режимі, тобто у такому режимі, коли перехідний процес закінчено, а зміна вихідного сигналу відбувається лише під дією вхідного сигналу. При дослідженні процесу функціонування об’єкта вимушену складову записують як функцію часу:
yвим(t)=PMuвх(t). У цьому випадку функція часу характеризує процес відслідковування об’єктом вхідного сигналу uвх(t) конкретної форми. Зокрема: - якщо uвх(t)=С = const, а досліджуваний об’єкт лінійний, тоді yвим(t)= C1. - якщо uвх(t)=asinωt, тоді yвим(t)=Аsіп(ωt+φ) і т.д.
Для нелінійних об’єктів вказаний процес є дещо складнішим. Розділити вихідний сигнал на вільну і вимушену складову не завжди можливо, тому розглядають ці системи разом. При цьому часто зустрічаються об’єкти, коли вільною складовою можна знехтувати. Тоді розглядають тільки вимушену складову. Аналіз характеристик “вхід-вихід” у параметричному вигляді, тобто аналіз залежностей yвим(t)=F(uвх), також не потребує розділення вихідного сигналу на складові. У цьому випадку будують математичну модель не для вхідного сигналу конкретної форми, а залежно від амплітуди вихідного сигналу. Очевидно, що крім амплітуди велике значення мають швидкість, прискорення та інші характеристики вхідного сигналу. Наявність практичних вимог до опису структури і параметрів об’єктів зумовлює появу широкого спектру класів моделей. Розглянемо конкретніше математичні моделі, які застосовують на практиці.
Лінійні динамічні моделі. Ці моделі мають вигляд лінійних диференціальних рівнянь:
(1)
де: {bm-1t),bm-2(t),...,b0(t),an(t),...,a0(t)} – вектор невідомих параметрів моделі; {m,n} – вектор невідомих параметрів структури; τ – запізнення. На практиці часто справедливе припущення, що параметри ai(t) i bi(t) під час розв’язування задачі оцінювання приймають постійними. Тоді лінійні диференціальні рівняння спрощуються і приймають вигляд:
(2)
Якщо у рівнянні (2) початкові умови нульові, тоді застосовуючи до нього перетворення Лапласа, визначаємо передавальну функцію системи:
(3)
Широке застосування на практиці має модель, яка задається у вигляді інтеграла згортки : (4) де: К(τ) – вагова функція; у(t0) – початкова умова.
Особливість рівняння полягає у тому, що його застосовують для лінійних систем як із змінними параметрами, так і з постійними. Крім того, це рівняння є справедливим і для лінійних систем з розподіленими і нерозподіленими параметрами. Будь-яку систему з математичної точки зору можна представити у вигляді оператора, за допомогою якого вхідний сигнал u(t) перетворюється у вихідний сигнал у(t). Цю залежність можна описати у вигляді:
y(τ) = A{ u(t)}, де: A{,} – оператор .
Оператор A{,} може залежати від часу. Якщо оператор A{,} не залежить від часу, тоді стверджують, що система не залежить від часу (необхідно відрізняти від вихідного сигналу системи у(τ)). Для лінійних систем, незалежних від часу, вихідний сигнал записують у вигляді:
Модель, яка характеризує динаміку лінійної системи, можна записати у вигляді системи диференціальних рівнянь першого порядку:
y(t) = c1x1 + c2x2 +...+ cnxn +du, (6)
де: aij, bi, cj – параметри моделі.
Рівняння (5) називають рівнянням стану, а рівняння (6) – рівнянням вимірювань. Систему (5) і (6) зручно записати у математичному вигляді:
X(t) = AX(t) + Bu(t); (7) y(t) = CX(t) + Du(t) (8)
Перехід від моделі (7) і (8) до моделі (3) здійснюють таким чином. Припустимо, що Х(0) = 0. Застосовуючи перетворення Лапласа до рівняння (8) і враховуючи нульові початкові умови, отримаємо:
X(s) = AX(s) + Bu(s).
Групуючи подібні члени, знаходимо значення Х(s) у вигляді:
Х(s) = [sE - A]-1 Bu(s), де: Е – одинична матриця.
Застосовуючи перетворення Лапласа до рівняння (1.21) після підстановки у нього значення Х(s), отримаємо значення вимірюваного сигналу:
У(s) = [ С[sЕ – А]-1 В + D]u(s). Отже, передавальну функцію W(s) можна записати у вигляді:
W(s) = С[sЕ – А]-1 В + D. Характерним для лінійних рівнянь є справедливість принципу суперпозиції, який, у більшості випадків, використовують при дослідженні об’єкта. Принцип суперпозиції використовують, аналізуючи реакцію об’єкта на окремі вхідні сигнали, що особливо важливо при вивченні складних систем. Виходячи з того, що змінні u(t) і у(t) є випадковими функціями у результаті накладення завад або похибок обчислень, і взаємозв’язок між змінними визначають за усередненими значеннями, тому такі рівняння будемо називати рівняннями регресії. Розрізняють лінійні і нелінійні, динамічні і статичні рівняння регресії. Лінійна статична регресія – це регресія, яка має вигляд:
(9) де: ξ(n) – завада, виміряна у n-й момент часу. Лінійна динамічна регресія – це залежність, яка має вигляд:
(10)
У регресивному аналізі розрізняють авторегресивні моделі, які мають вигляд: (11) З рівняння (1.24) видно, що на вході авторегресивних моделей присутній тільки сигнал завади.
Нелінійні моделі. Широке розповсюдження отримали математичні моделі у вигляді функціональних рядів. Це зумовлено тим, що для будь-якої неперервної на обмеженому інтервалі функції при заданій точності можна знайти алгебраїчний поліном, який буде апроксимувати цю функцію з заданою точністю .
Статичні нелінійні моделі. Розрізняють функціональні ряди однієї і багатьох змінних. Поліном однієї змінної можна описати у вигляді: y(x) = a0 + a1u + a2u2 +...+ anun, (12)
а поліном багатьох змінних має вигляд:
(13) Загальний вигляд моделі, заданої функціональним рядом, можна зобразити таким чином:
, де: u={u1,u2,...,un}; fi(n) – функції багатьох аргументів.
Модель у вигляді тригонометричного полінома описується двома виразами: - тригонометричним поліном з кратними частотами:
(14) - тригонометричним поліном з некратними частотами:
(15)
Ряд Тейлора. Якщо значення функції F(x) і ряд її похідних можуть бути обчислені у точці х=а, тоді функція F(х) є поліномом n-го степеня, який має вигляд:
.
Інтерполяційна формула Лагранжа. Якщо можна обчислити значення функції F(х) у (n+1)-ій точці, тоді для наближеного обчислення функції F(х) у проміжних точках будують поліном n-го порядку:
F(x) = A0 + A1(x) +...+ Anxn = f(x). (15.1) Значення функції F(х) і полінома у точках а1,...,an+1 співпадають, тобто:
F(a1) = f(a1), F(a2) = f(a2),...., F(an+1) = f(an+1). Поліном F(х) можна записати у дещо іншій формі:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Такий поліном будемо називати інтерполяційним багаточленом Лагранжа.
Читайте також:
|
|||||||||||
|