• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Математичні моделі об’єктів

Лекція №6

Попередньо показано, що об’єктом ідентифікації є все те, що пізнається внаслідок аналізу інформації, яку отримують у процесі оброблення даних. Дані отримують у процесі вимірювання змінних на деякому кінцевому інтервалі спостереження, а також у процесі обчислення відомих функцій, які задають аналітично або алгоритмічно. При ідентифікації отримують інформацію у найбільш стислому вигляді. Цього досягають внаслідок побудови математичних моделей. При цьому будують моделі двох типів.

Перший тип – це математичні моделі, які детально описують внутрішні і зовнішні процеси у об’єкті. Такі моделі опосередковано імітують об’єкт, тому їх називають імітаційними.

Другий тип – це математичні моделі, які ґрунтуються на взаємозв’язку виміряних або обчислених змінних. Такі моделі дозволяють отримати передбачуване значення виходів об’єкта із заданою точністю. Математичні моделі відрізняються, як правило, простотою опису, порівняно з імітаційними моделями.

Надалі будемо розглядати тільки математичні моделі другого типу. Цей тип математичних моделей будують виходячи з таких міркувань.

Вихідний сигнал досліджуваного лінійного об’єкта y₀(t) можна подати у вигляді суми двох складових – вільної і вимушеної: y_віл(t) і y_вим(t), тобто:

y₀(t) = y_віл(t) + y_вим(t).

Вільна складова характеризує перехідний процес, а отже, і вагову функцію K(t), яку можна записати як реакцію досліджуваного об’єкта на вхідний сигнал типу дельта-функції σ(τ), тобто:

K(t)= y_віл (σ(τ),t),

де:

τ – час, якийвизначає момент прикладання вхідного сигналу дельта-функції σ(τ) до входу досліджуваного об’єкта.

Вагова функція K(t) є розв’язком відповідного диференціального або інтегрального рівняння, яку можуть задавати у неперервній або дискретній формі. Тому математична модель вільної складової може мати різні форми запису, які відрізняються як структурою, так і параметрами. Вибір математичної моделі залежить від поставленої дослідником задачі і його індивідуальних особливостей.

Вимушена складова y_вим(t) є реакцією досліджуваного об’єкта у встановленому режимі, тобто у такому режимі, коли перехідний процес закінчено, а зміна вихідного сигналу відбувається лише під дією вхідного сигналу. При дослідженні процесу функціонування об’єкта вимушену складову записують як функцію часу:

y_вим(t)=P_Mu_вх(t).

У цьому випадку функція часу характеризує процес відслідковування об’єктом вхідного сигналу u_вх(t) конкретної форми. Зокрема:

- якщо u_вх(t)=С = const, а досліджуваний об’єкт лінійний, тоді y_вим(t)= C₁.

- якщо u_вх(t)=asinωt, тоді y_вим(t)=Аsіп(ωt+φ) і т.д.

Для нелінійних об’єктів вказаний процес є дещо складнішим. Розділити вихідний сигнал на вільну і вимушену складову не завжди можливо, тому розглядають ці системи разом. При цьому часто зустрічаються об’єкти, коли вільною складовою можна знехтувати. Тоді розглядають тільки вимушену складову.

Аналіз характеристик “вхід-вихід” у параметричному вигляді, тобто аналіз залежностей y_вим(t)=F(u_вх), також не потребує розділення вихідного сигналу на складові. У цьому випадку будують математичну модель не для вхідного сигналу конкретної форми, а залежно від амплітуди вихідного сигналу. Очевидно, що крім амплітуди велике значення мають швидкість, прискорення та інші характеристики вхідного сигналу. Наявність практичних вимог до опису структури і параметрів об’єктів зумовлює появу широкого спектру класів моделей. Розглянемо конкретніше математичні моделі, які застосовують на практиці.

Лінійні динамічні моделі. Ці моделі мають вигляд лінійних диференціальних рівнянь:

(1)

де:

{b_m-1t),b_m-2(t),...,b₀(t),a_n(t),...,a₀(t)} – вектор невідомих параметрів моделі;

{m,n} – вектор невідомих параметрів структури;

τ – запізнення.

На практиці часто справедливе припущення, що параметри a_i(t) i b_i(t) під час розв’язування задачі оцінювання приймають постійними. Тоді лінійні диференціальні рівняння спрощуються і приймають вигляд:

(2)

Якщо у рівнянні (2) початкові умови нульові, тоді застосовуючи до нього перетворення Лапласа, визначаємо передавальну функцію системи:

(3)

Широке застосування на практиці має модель, яка задається у вигляді інтеграла згортки :

(4)

де:

К(τ) – вагова функція;

у(t₀) – початкова умова.

Особливість рівняння полягає у тому, що його застосовують для лінійних систем як із змінними параметрами, так і з постійними. Крім того, це рівняння є справедливим і для лінійних систем з розподіленими і нерозподіленими параметрами.

Будь-яку систему з математичної точки зору можна представити у вигляді оператора, за допомогою якого вхідний сигнал u(t) перетворюється у вихідний сигнал у(t). Цю залежність можна описати у вигляді:

y(τ) = A{ u(t)},

де:

A{,} – оператор .

Оператор A{,} може залежати від часу. Якщо оператор A{,} не залежить від часу, тоді стверджують, що система не залежить від часу (необхідно відрізняти від вихідного сигналу системи у(τ)). Для лінійних систем, незалежних від часу, вихідний сигнал записують у вигляді:

Модель, яка характеризує динаміку лінійної системи, можна записати у вигляді системи диференціальних рівнянь першого порядку:

y(t) = c₁x₁ + c₂x₂ +...+ c_nx_n +du, (6)

де:

a_ij, b_i, c_j – параметри моделі.

Рівняння (5) називають рівнянням стану, а рівняння (6) – рівнянням вимірювань. Систему (5) і (6) зручно записати у математичному вигляді:

X(t) = AX(t) + Bu(t); (7)

y(t) = CX(t) + Du(t) (8)

Перехід від моделі (7) і (8) до моделі (3) здійснюють таким чином.

Припустимо, що Х(0) = 0. Застосовуючи перетворення Лапласа до рівняння (8) і враховуючи нульові початкові умови, отримаємо:

X(s) = AX(s) + Bu(s).

Групуючи подібні члени, знаходимо значення Х(s) у вигляді:

Х(s) = [sE - A]^-1 Bu(s),

де:

Е – одинична матриця.

Застосовуючи перетворення Лапласа до рівняння (1.21) після підстановки у нього значення Х(s), отримаємо значення вимірюваного сигналу:

У(s) = [ С[sЕ – А]^-1 В + D]u(s).

Отже, передавальну функцію W(s) можна записати у вигляді:

W(s) = С[sЕ – А]^-1 В + D.

Характерним для лінійних рівнянь є справедливість принципу суперпозиції, який, у більшості випадків, використовують при дослідженні об’єкта. Принцип суперпозиції використовують, аналізуючи реакцію об’єкта на окремі вхідні сигнали, що особливо важливо при вивченні складних систем.

Виходячи з того, що змінні u(t) і у(t) є випадковими функціями у результаті накладення завад або похибок обчислень, і взаємозв’язок між змінними визначають за усередненими значеннями, тому такі рівняння будемо називати рівняннями регресії. Розрізняють лінійні і нелінійні, динамічні і статичні рівняння регресії.

Лінійна статична регресія – це регресія, яка має вигляд:

(9)

де:

ξ(n) – завада, виміряна у n-й момент часу.

Лінійна динамічна регресія – це залежність, яка має вигляд:

(10)

У регресивному аналізі розрізняють авторегресивні моделі, які мають вигляд:

(11)

З рівняння (1.24) видно, що на вході авторегресивних моделей присутній тільки сигнал завади.

Нелінійні моделі. Широке розповсюдження отримали математичні моделі у вигляді функціональних рядів. Це зумовлено тим, що для будь-якої неперервної на обмеженому інтервалі функції при заданій точності можна знайти алгебраїчний поліном, який буде апроксимувати цю функцію з заданою точністю .

Статичні нелінійні моделі. Розрізняють функціональні ряди однієї і багатьох змінних. Поліном однієї змінної можна описати у вигляді:

y(x) = a₀ + a₁u + a₂u² +...+ a_nuⁿ, (12)

а поліном багатьох змінних має вигляд:

(13)

Загальний вигляд моделі, заданої функціональним рядом, можна зобразити таким чином:

,

де:

u={u₁,u₂,...,u_n}; f_i(n) – функції багатьох аргументів.

Модель у вигляді тригонометричного полінома описується двома виразами:

- тригонометричним поліном з кратними частотами:

(14)

- тригонометричним поліном з некратними частотами:

(15)

Ряд Тейлора. Якщо значення функції F(x) і ряд її похідних можуть бути обчислені у точці х=а, тоді функція F(х) є поліномом n-го степеня, який має вигляд:

.

Інтерполяційна формула Лагранжа. Якщо можна обчислити значення функції F(х) у (n+1)-ій точці, тоді для наближеного обчислення функції F(х) у проміжних точках будують поліном n-го порядку:

F(x) = A₀ + A₁(x) +...+ A_nxⁿ = f(x). (15.1)

Значення функції F(х) і полінома у точках а₁,...,a_n+1 співпадають, тобто:

F(a₁) = f(a₁), F(a₂) = f(a₂),...., F(a_n+1) = f(a_n+1).

Поліном F(х) можна записати у дещо іншій формі:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.

Такий поліном будемо називати інтерполяційним багаточленом Лагранжа.

Читайте також:

1. Автокореляція залишків – це залежність між послідовними значеннями стохастичної складової моделі.
2. Автоматичне і ручне створення об’єктів.
3. Адміністративний захист об’єктів інтелектуальної власності від недобросовісної конкуренції
4. Адміністративно-правовий захист об’єктів інтелектуальної власності
5. Аналіз економічноїї політики за допомогою моделі Мандела-Флемінга. Випадки вільного та фіксованого валютного курсів.
6. Аналітичний підбір математичної моделі.
7. Багатоаспектне класифікування об’єктів винаходу
8. Бізнес-моделювання в системі управління розвитком підприємства. Поняття та етапи формування бізнес-моделі
9. Вбудовування об’єктів
10. Введення в дію об’єктів інвестування.
11. Вибір підходу до процесу соціальної роботи зале­жить від теоретичної моделі, якої дотримуються соці­альні працівники, обраної стратегії втручання і методу соціальної роботи.
12. Види світогляду: міфологічний, релігійний та філософський (натуралістична, об’єктивно-ідеалістична, субєктивно-ідеалістичні і матеріалістичні моделі).

Переглядів: 1036