Нехай відомі значення функції в точках . Для інтерполяції функції в довільній точці , що належить відрізку , необхіднопобудувати інтерполяційний поліном n-го порядку, який в методі Лагранжа має вигляд:
(5.4)
де
Якщо розкрити добутки всіх дужок в чисельнику (в знаменнику всі дужки є числами), то отримаємо поліном n-го порядку від х, тобто в чисельнику n співмножників першого порядку. Наступний поліном Лагранжа не що інше, як звичайний поліном n-го порядку, але записаний в іншій формі. Підставляючи l(x) у вираз для L(x), отримаємо
(5.5)
Неважко помітити, що у вузлах інтерполяції:
Оцінити похибку інтерполяції в точці (друга проблема інтерполяції) можна по формулі:
(5.6)
де - максимальне значення -ої похідної початкової функції f(x) на відрізку .
Отже, щоб оцінити похибку, треба знати , що не завжди можливо.
З формули (5.5) можна отримати вираз для лінійної і квадратичноїінтерполяції без обчислення відповіднихкоефіцієнтів.