Найпростішим видом локальної інтерполяції є лінійна інтерполяція. Вона полягає в тому, що задані точки з'єднуютьсяпрямолінійними відрізками, а функція апроксимується ламаною з вершинами в даних точках.
Для і-го інтервалу можна написати рівняння прямої, що проходить через точкита у вигляді:
.
Звідси
(5.2)
Для визначення наближеного значення в середині будь-якого інтервалу, спочатку по значенню x визначають інтервал, а потім підставляють x в рівняння цього інтервалу.
Для випадку квадратичної інтерполяції як інтерполяційний многочлен на відрізку приймається квадратний многочлен .
Тут невідомими є вони знаходяться з умови проходження многочлена через три точки
. (5.3)
Інтерполяція для будь-якої точки х з інтервалу проводитьсяпо трьох найближчихдо неї вузлах.
На рис. 5.2 показано графіки локальних (лінійної та квадратичної) інтерполяційних функцій.
Рис. 5.2 – Лінійна та квадратична інтерполяція
Приклад:Знайти наближене значення функції при х=0,32, якщо відома таблиця її значень:
х
0,15
0,30
0,4
0,55
у
2,17
3,63
5,07
7,78
а) При лінійній інтерполяції х=0,32 знаходиться між вузлами0,3 і 0,4. В цьому випадку
При маємо (рис. 5.3):
.
Рис. 5.3 – Лінійна локальна інтерполяція
б) При квадратичній інтерполяції складемо систему рівняньдля найближчих до точки х=0.32 вузлів:
відповідно
Маємо систему рівнянь:
Розв’язуючи цю систему, знаходимо:
Отже, інтерполяційна квадратична функція:
Тоді шукане значення в точці х=0,32 буде (рис. 5.4):