• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Лекція №13. Локальні екстремуми функції багатьох змінних. Умовний екстремум.

1. Локальні екстремуми функції двох змінних

2. Найбільше та найменше значення функції

3. Умовний екстремум

1. Локальні екстремуми функції двох змінних

Нехай функція z = f(х, у) визначена в області D, а точка D. Якщо існує окіл точки , який належить області D і для всіх відмінних від точок М цього околу виконується нерівність f (М)< f ()(f (М) > f ()), то точку називають точкою ло­кального максимуму (мінімуму) функції , а число – ло­кальним максимумом (мінімумом) цієї функції (рис. 1).

Рис. 1.

Точки максимуму та мінімуму функції називають її точками екстремуму.

Теорема 1 (необхідні умови екстремуму)

Якщо функція має в точці локальний екстремум, то в цій точці частин­ні похідні першого порядку по змінних х та у дорівнюють нулю або не існують.

Подібна теорема справедлива для функції n змінних. Точку , в якій частинні похідні першого порядку функції дорів­нюють нулю, тобто , називають стаціонарною точкою функції .

Стаціонарні точки та точки, в яких частинні похідні не існують, називаються критичними точками.

В задачах з практичним змістом, як правило, відомо, що функція має екстремум. Якщо така функція має лише одну критичну точку, то ця точка і буде точкою екстремуму.

Теорема 2 (достатні умови екстремуму)

Нехай в стаціонарній точці М(х; у) і деякому її околі функція має неперервні частинні похідні другого порядку. Якщо

>0,

то функція має в точці Мекстремум, причому максимум при <0 і мінімум при >0. Якщо <0, то в точці Мфункція f (х, у) екстремуму не має.

Наслідок (другі достатні умови екстремуму)

Функція має мінімум в стаціонарній точці , якщо диференціал другого порядку в цій точці >0, і максимум – якщо <0.

Другі достатні умови екстремуму справедливі для функцій довільного числа змінних.

На основі теорем 1 і 2 дістанемо правило дослідження диференційовних функцій двох змінних на екстремум. Щоб знайти екстремум диференційовних функцій , необхідно:

1) Знайти стаціонарні точки функцій із системи рівнянь:

2) У кожній стаціонарній точці обчислити вираз , якщо >0, то – точка екстремуму функції, причому точка максимуму при <0 і мінімуму при >0; якщо <0, то точка (х; у) не є точкою екстремуму функції;

3) Обчислити значення функції в точках максимуму та мінімуму. Якщо =0, то ніякого висновок про характер стаціонарної точки зробити не можна і потрібне додаткове дослідження.

Приклад 1.

Знайти точки локального екстремуму функції

Знаходимо частинні похідні

Стаціонарні точки функції визначимо із системи:

Отже, функція має 4 стаціонарні точки:

Знайдемо величину . Оскільки то

Обчислимо величину в кожній стаціонарній точці:

<0 – в т. немає екстремуму.

<0 – в т. немає екстремуму.

>0 – в т. функція має екстремум; >0, отже в т. функція має локальний мінімум:

>0 – в т. функція має екстремум; <0, отже в т. функція має локальний максимум:

Читайте також:

1. Адвокатура в Україні: основні завдання і функції
2. Алгоритм знаходження ДДНФ (ДКНФ) для даної булевої функції
3. Але відмінні від значення функції в точці або значення не існує, то точка називається точкою усувного розриву функції .
4. Аналіз коефіцієнтів цільової функції
5. АРХІВНІ ДОВІДНИКИ В СИСТЕМІ НДА: ФУНКЦІЇ ТА СТРУКТУРА
6. Асимптоти графіка функції
7. Базальні ядра, їх функції, симптоми ураження
8. Базові функції, логічні функції
9. Банки як провідні суб’єкти фінансового посередництва. Функції банків.
10. Банківська система та її основні функції
11. Банківська система та її структура. Функції Центрального банку.
12. Банківська система: сутність, принципи побудови та функції. особливості побудови банківської системи в Україн

Переглядів: 5483