МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах
РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ" ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів Контакти
Тлумачний словник |
|
|||||||
Лекція №13. Локальні екстремуми функції багатьох змінних. Умовний екстремум.
1. Локальні екстремуми функції двох змінних 2. Найбільше та найменше значення функції 3. Умовний екстремум
1. Локальні екстремуми функції двох змінних
Нехай функція z = f(х, у) визначена в області D, а точка D. Якщо існує окіл точки , який належить області D і для всіх відмінних від точок М цього околу виконується нерівність f (М)< f ()(f (М) > f ()), то точку називають точкою локального максимуму (мінімуму) функції , а число – локальним максимумом (мінімумом) цієї функції (рис. 1). Рис. 1. Точки максимуму та мінімуму функції називають її точками екстремуму. Теорема 1 (необхідні умови екстремуму) Якщо функція має в точці локальний екстремум, то в цій точці частинні похідні першого порядку по змінних х та у дорівнюють нулю або не існують.
Подібна теорема справедлива для функції n змінних. Точку , в якій частинні похідні першого порядку функції дорівнюють нулю, тобто , називають стаціонарною точкою функції . Стаціонарні точки та точки, в яких частинні похідні не існують, називаються критичними точками. В задачах з практичним змістом, як правило, відомо, що функція має екстремум. Якщо така функція має лише одну критичну точку, то ця точка і буде точкою екстремуму. Теорема 2 (достатні умови екстремуму) Нехай в стаціонарній точці М(х; у) і деякому її околі функція має неперервні частинні похідні другого порядку. Якщо >0, то функція має в точці Мекстремум, причому максимум при <0 і мінімум при >0. Якщо <0, то в точці Мфункція f (х, у) екстремуму не має.
Наслідок (другі достатні умови екстремуму) Функція має мінімум в стаціонарній точці , якщо диференціал другого порядку в цій точці >0, і максимум – якщо <0. Другі достатні умови екстремуму справедливі для функцій довільного числа змінних. На основі теорем 1 і 2 дістанемо правило дослідження диференційовних функцій двох змінних на екстремум. Щоб знайти екстремум диференційовних функцій , необхідно: 1) Знайти стаціонарні точки функцій із системи рівнянь: 2) У кожній стаціонарній точці обчислити вираз , якщо >0, то – точка екстремуму функції, причому точка максимуму при <0 і мінімуму при >0; якщо <0, то точка (х; у) не є точкою екстремуму функції; 3) Обчислити значення функції в точках максимуму та мінімуму. Якщо =0, то ніякого висновок про характер стаціонарної точки зробити не можна і потрібне додаткове дослідження. Приклад 1. Знайти точки локального екстремуму функції Знаходимо частинні похідні Стаціонарні точки функції визначимо із системи:
Отже, функція має 4 стаціонарні точки: Знайдемо величину . Оскільки то Обчислимо величину в кожній стаціонарній точці: <0 – в т. немає екстремуму. <0 – в т. немає екстремуму. >0 – в т. функція має екстремум; >0, отже в т. функція має локальний мінімум: >0 – в т. функція має екстремум; <0, отже в т. функція має локальний максимум:
Читайте також:
|
||||||||
|