• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Статистична перевірка статистичних гіпотез

Результати експерименту {x_i}, , як правило, є дискретною або неперервною випадковою величиною Xу зв’язку з тим, що на процес експерименту впливають не тільки управляючі фактори, але й велика множина випадкових об’єктивних факторів і суб’єктивних чинників. Обробка результатів експерименту дозволяє отримати статистику (статистичну оцінку) j (x₁, x₂,…, x_k), яку можна розглядати як випадкову величину, закон розподілу якого в загальному випадку залежить від класу теоретичного закону розподілу Ψ = Ψ (X, Θ₁, Θ₂, …,Θ_p) випадкової величини X, параметрів цього закону Θ₁, Θ₂, …,Θ_p , роль яких відіграють точкові чи інтервальні оцінки: математичне сподівання, дисперсія, мода тощо.

Закон розподілу статистики залежить від повноти наших знань про гіпотетичний закон розподілу ГС. Числові характеристики статистики є статистичними точковими оцінками невідомих параметрів теоретичного розподілу Ψ = Ψ (X, Θ₁, Θ₂, …,Θ_p).

Статистичними гіпотезами називаються будь-які гіпотези відносно генеральних сукупностей. Вони поділяються на:

а) гіпотези щодо розподілу ГС;

б) гіпотези щодо параметрів Θ₁, Θ₂, …,Θ_p відомого закону розподілу ГС;

в) інші гіпотези (про рівність параметрів декількох розподілів, про незалежність вибірок тощо).

Точність оцінювання математичного сподівання Q = m здійснюється через середнє вибіркове Q*= і визначається довірчим інтервалом DQ із такими межами:

,

де точність оцінки d для великого обсягу вибірки n визначається як d = , а для малого – .

Довірчий інтервал DQ = із заданою надійністю (довірчою ймовірністю, вірогідністю) eпокриває оцінюваний параметр m, тобто p (Q Î DQ) .

Параметр, який доповнює до одиниці надійність eєрівень значущості a , а саме: a = 1 – e.

Статистичні гіпотези класифікуються таким чином:

а) проста гіпотеза, якщо вона має тільки одне припущення;

б) складна гіпотеза складається із кінцевого або нескінченного числа простих гіпотез;

в) нульова (основна) гіпотеза – це гіпотеза H₀, яку висувають;

г) конкуруюча (альтернативна) гіпотеза – це гіпотеза H₁ , яка суперечить нульовій.

Статистичним критерієм (або просто критерієм) називають випадкову величину K, яка служить для перевірки гіпотези. Значення критерію, яке обчислено за вибіркою називається спостерігаючим (емпіричним) значенням K_сп.

Область прийняття гіпотези (довірчий інтервал, область допустимих значень) називається сукупність значень критерію K, при якому нульову гіпотезу приймають. Цій області відповідає довірча ймовірність e.

Критична область – це сукупність значення критерію K, при якому нульову гіпотезу відкидають (відхиляють).

Критичними точками (границями) k_кр називають точки, що відділяють критичну область від області прийняття гіпотези. Критичні області поділяються на односторонні (лівосторонні та правосторонні), а також на двохсторонні. Їх зображають на координатній осі абсцис.

____________e______________0__k_кр ////////////////////////////a////////////////////////////////////////

Рис. 1. Правостороння критична область:

K > k_кр ,P (K > k_кр ) = a,P (K < k_кр ) = e,k_кр > 0

//////////////////////a////////////////k_кр__0_____________________ e _____________________

Рис. 2. Лівостороння критична область:

K < k_кр ,P (K < k_кр ) = a,P (K > k_кр ) = e,k_кр < 0

///////////////a/2//////////(-k_кр)____________0______________k_кр///////////////a/2//////////////////

Рис. 3. Двохстороння симетрична (відносно нуля x=0) критична область:

K < -k_кр ,P (K < - k_кр ) = a/2,(k_кр > 0); K > k_кр ,P (K > k_кр ) = a/2, P (K < - k_кр ) + P (K > k_кр ) = a ; P (-k_кр< K < k_кр ) = e. Для несиметричної двосторонньої критичної області: K < k₁ ,K > k₂, деk₂ > k_{1 .}

Основний принцип перевірки статистичних гіпотез: якщо значення спостерігаємого критерію K_сп1 належить критичній області, то нульову гіпотезу H₀ відкидають; якщо значення спостерігаємого критерію K_сп2 належить області прийняття гіпотези, то гіпотезу приймають (рис. 4).

_________e_____K_сп2_________0__k_кр ////////////////////////////a//////////////////K_сп1////////////////

Рис. 4. Нульова гіпотеза H₀ в правосторонній критичній області:

P (K_сп1 > k_кр ) = a,P (K_сп2 < k_кр ) = e,деa= 0,9; 0,95; 0,99; 0,999.

Рівень значущості a визначає ймовірність помилкового прийняття альтернативної гіпотези H₁ при справедливості нульової гіпотези H₀.

При перевірці гіпотези можуть бути допущені помилки двох родів:

1) помилка першого роду полягає в тому, що буде відхилена правильна гіпотеза H₀. Імовірність помилки першого роду називають рівнем значущості a;

2) помилка другого роду полягає в тому, що буде прийнята неправильна гіпотеза. Імовірність помилки другого роду позначається як b– подія “прийнята нульова гіпотеза H₀, причому справедлива конкуруюча H₁”.

Отже, імовірність протилежної події ”відхилена нульова гіпотеза H₀, причомусправедлива конкуруюча H₁”, тобто ймовірність того, що не буде допущена помилка другого роду – це потужність критерію , яка рівна 1 – b.Очевидно,a ¹ 1– b.

Відповідно теореми Неймана-Пірсона, якщо a вже вибрано, то можна побудувати критичну область, для якої bбуде мінімальне і, відповідно, потужність критерію 1– b максимально. Єдиний спосіб одночасного зменшення aі b полягає в збільшенні обсягу вибірки. Зазначимо, що якщо гіпотеза прийнята (або відкинута) то помилково думати, що тим самим вона доведена (або спростована).

Читайте також:

1. IV. Перевірка розв’язання і відповідь
2. А. науковий факт, b. гіпотеза, с. метод
3. Аналіз статистичних даних про склад та плинність кадрів, які обіймали керівні
4. Аналітична перевірка звітності
5. Біохімічна гіпотеза виникнення життя.
6. Вибір і перевірка проводів та кабелів за нагріванням
7. Види статистичних групувань
8. Використання статистичних методів в економічному аналізі.
9. Вимірювання перевищень, перевірка горизонтальності обладнання
10. Вимоги до наукових гіпотез
11. Втрата непараметричними критеріями згоди „свободи від розподілу” при складних гіпотезах
12. Гіпотеза

Переглядів: 1259