Новини освіти і науки:

G+

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Класичні вікна

Всі наведені вікна представляються як парні (щодо початку координат) і містять непарну кількість точок. Для перетворення вікна в ДПФ-парне вікно достатньо відкинути крайню праву точку і зсунути послідовність так, щоб крайня ліва точка співпала з початком координат. Ми будемо використовувати нормовані координати з періодом дискретизації Т=1.0, так що ω₀ буде мати період 2π/N і надалі позначатися через θ. Біном ДПФ будемо називати відстань між відліками, кратними 2π/N. Бін має ширину 2π/N.

Прямокутне вікно (вікно Діріхле)

Прямокутне вікно у всьому інтервалі спостереження рівне одиниці. Таке вікно можна розглядати як виділяючу, або стробуючу послідовність, що впливає на вхідну послідовність для виділення з неї кінцевої ділянки. Вікно для кінцевого перетворення Фур'є, що наведено на рис.7.6, визначається як

w(n)=l,0; (10.18)

Те ж саме вікно для ДПФ визначається як

w(n)=l,0; (10.19)

Спектральне вікно, відповідне прямокутному вікну для ДПФ, дається виразом

(10.20)

Видно, що перетворення цього вікна є ядром Діріхле шириною головного пелюстка ДПФ (між перетинами нуля) 2 біна та рівнем перших бічних пелюстків приблизно на 13 дБ нижче за пік головної пелюстки. Швидкість спаду бічних пелюсток складає 6.0 дБ/октава, що цілком прийнятне для вагової функція з розривами.

Рис 10.7. Прямокутне вікно (а) і логарифм амплітуди його перетворення Фур'є (b).

Тепер, коли дано визначення прямокутного вікна, можна відповісти на поставлене раніше питання: в якому сенсі кінцева сума (10.21) апроксимує нескінченну суму (10.22)

(10.21)

(10.22)

Звідси можна зробити висновок, що кінцева сума – це нескінченна сума, помножена на прямокутну вагову функцію. Нескінченна сума – це розкладання в ряд Фур'є деякої періодичної функції, a f(n) – коефіцієнти цього розкладання. Відзначимо, до речі, і та обставина, що кінцева сума – це просто часткова сума ряду Фур'є.

Трикутне вікно (вікно Фейера і Бартлетта)

Трикутне вікно для кінцевого перетворення Фур'є, що наведене на рис.10.8 визначається виразом

(10.23)

Це вікно для ДПФ записується як

(10.24)

Рис. 10.8. Трикутне вікно (а) і логарифм амплітуди його перетворення Фур'є 8(b).

Спектральне вікно, відповідне ДПФ - послідовності, дається формулою

(10.25)

Видно, що перетворення цього вікна є квадратом ядра Діріхле. Ширина його головного пелюстка (між перетинами нуля) удвічі більш ніж в прямокутного вікна, а рівень перших бічних пелюсток рівний приблизно —26 дБ, тобто теж приблизно удвічі нижчий, ніж в прямокутного вікна. Рівень бічних пелюстків спадає із швидкістю 12 дБ/октава, оскільки розривна не сама вагова функція, а тільки її перша похідна. Трикутник – це найпростіше вікно, що має ненегативне перетворення. Такою властивістю володіють всі вікна, отримані шляхом згортки будь-якого вікна (половинної протяжності) з самим собою. Перетворення такого вікна рівно квадрату перетворення початкового вікна.

Вікно, отримане шляхом згортки з початковим вікном, містить приблизно удвічі більше відліків, ніж початкове, і, отже, відповідає тригонометричному поліному (за Z-перетворенням) приблизно удвічі більш високого порядку. (Згортка двох прямокутників по N/2 точок в кожному дасть трикутник з N+1 точок, якщо рахувати нульові точки на кінцях.) Тепер перетворення вікна буде мати удвічі більше нулів, ніж початкове перетворення (це пояснюється збільшенням порядку приєднаного тригонометричного полінома). Перетворення вікна, шляхом згортки з самим собою, просто має кратні нулі в кожній з точок, відповідних нулям початкового перетворення. Завдяки кратності нулів в нуль в цих точках звертається, звичайно, і перша похідна перетворення. Проте, якщо порядок полінома збільшують для зниження рівня бічних пелюсток, подвоєння числа нулів не принесе успіху.

Щоб понизити рівень бічних пелюстків, додаткові нулі слід було б помістити в проміжках між існуючими нулями (поблизу локальних піків бічних пелюсток), а не в тих точках, де перетворення і так рівно нулю.

Вікна виду cos^α (X)

Це ціле сімейство вікон, залежних від параметра а, причому а, як правило, ціле число. Привабливість цього сімейства пояснюється легкістю обчислення значень відліків вікна і простотою аналізу властивостей перетворення косинусної функції. Ці якості особливо зручні для ДПФ. Вікно для кінцевого перетворення Фур’є визначається виразом

(10.26)

а для ДПФ – виразом

(10.27)

В якості α найчастіше вибирають цілі числа від 1 до 4. Найчастіше використовують вікно з α=2 (вікно Хеннінга). Вікна для (α = 1 і 2 даються наступними формулами (для кінцевого перетворення формули з індексом „а", для ДПФ -з індексом "b"):

α =1.0 (косинусоїдальний пелюсток)

(10.28)

α=1.0 (синусоїдальний пелюсток)

(10.29)

α=2.0 (косинус квадрат, підведена косинусоїда, вікно Хеннінга)

(10.30)

α =2.0 (синус квадрат, підведена синусоїда, вікно Хеннінга)

(10.31)

Зауважимо, що із зростанням α вікна стають більш гладкими, що відображається і на перетворенні — зменшується рівень бічних пелюстків і швидшає їх спад, зате збільшується ширина головного пелюстка.

Рис. 10.9. Вікно cos⁴ (пπ/N) (а) і логарифм амплітуди його перетворення Фур’є (b)

Вікна сімейства Гауса (Вейерштрасса) є гладкими функціями, перетворення Фур'є яких має високі вузькі головні пелюстки. Згідно узагальненому принципу невизначеності, не можна одночасно "стиснути" сигнал і його перетворення Фур'є. Якщо мірою стиснення є середньоквадратична часова тривалість Т і середньоквадратична смуга частот W, то, як відомо, для будь-якої функції виконується нерівність

(10.33)

Рівність досягається тільки для імпульсу з гаусовою огинаючою. Такий імпульс характеризується мінімальним добутком тривалості на смугу частот і тому досить привабливий для використовування в якості вікна. На жаль, при цьому ми вимушені обрізувати "хвости" гаусовою кривою, тим самим обмежуючи часову тривалість імпульсу. В результаті його спектр розпливається, і добуток тривалості на смугу частот перестає бути мінімальним. Проте, якщо точка усікання лежить за точкою 3σ, помилки усікання малі, і таке вікно є доброю апроксимацією вікна з мінімальним добутком тривалості на смугу частот.

Доцільно знайти такі вікна, які при заданій кінцевій тривалості будуть мати мінімальну ширину смуги. Аналогічна задачу розв’язується при проектуванні антен. Вон полягає у виборі такого розподілу поля в антені кінцевої апертури, які дозволило б якомога більше звузити головну пелюстка діаграми спрямованості, одночасно не допускаючи зростання бічних пелюстків. Рішення, що забезпечує мінімальну ширину головного пелюстка при заданому рівні бічних пелюсток, отримано в замкнутій формі. Воно є вікном (функцію затінення) Дольфа-Чебишева. Безперервне рішення цієї задачі має викиди на межах і тому в безперервних вікнах може бути реалізоване лише приблизно (за допомогою розкладання в ряд Тейлора). Дискретні вікна не мають подібних обмежень, для них можлива точна реалізація рішення.

Співвідношення Tn(X)=cos(θ) задає відображення безлічі поліномів Чебишева n-го алгебраїчного порядку на безліч тригонометричних поліномів того ж порядку. За допомогою цього відображення можна отримати наступний вираз для вікна Дольфа-Чебишева, визначений через значення еквідістантних відліків перетворення Фур'є вікна;

(10.34)

Щоб обчислити відповідні часові відліки вікна ω(n), потрібно просто застосувати до відліків W(k) ДПФ, а потім нормувати їх щодо максимальної амплітуди. Параметр α, характеризує собою логарифм відносини максимуму головної пелюстки до рівня бічних пелюстків. Так α=3.0 відповідає бічним пелюсткам на 3.0 декади (або на 60 дБ) нижчим за головний пелюсток. Множник (-1)^x, що змінює знаки послідовних відліків перетворення, введений для обліку зсуву початкової точки в часовій області.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Вікна та їх основні параметри	\|	Гармонійний аналіз

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.004 сек.