• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Вікна та їх основні параметри

В гармонійному аналізі вікна використовуються для зменшення небажаних ефектів просочування спектральних складових. Вікна впливають на можливість виявлення, роздільну здатність, динамічний діапазон, ступінь достовірності і легкість реалізованості обчислювальних операцій. Для порівняння характеристики вікон визначаються як їх основні параметри впливають на результати гармонійного аналізу.

Обмежений по смузі сигнал f(t) з перетворенням Фур’є F(ω) можна описати еквідістантною послідовністю відліків f (nT). Ця послідовність визначає періодично продовжений спектр NТ(ω) як його розкладання в ряд Фур’є.

Для машинної обробки в реальному масштабі часу послідовність даних повинна мати кінцеву тривалість, тому суму нескінченного ряду можна апроксимувати кінцевою сумою:

Рівняння (10.1) є перетворенням Фур’є; межі підсумовування тут вибрані задля зручностей, які дає парна симетрія. Рівняння (10.2) є перетворенням Фур’є з опущеною правою точкою, а (10.3) — ДПФ, тобто ряд відліків спектру (10.2). Бажано, щоб при опрацюванні реальних сигналів (для зручності застосування обчислювальних алгоритмів) індекси починалися з нуля. Цього можна добитися, зсовуючи початкову точку на N/2 точок вправо, тобто переходячи від (10.3) до (10.4). Рівняння (10.4) є прямим ДПФ. Оскільки, зсув індексу підсумовування на N/2 впливає лише на фазові кути перетворення, тому задля зручностей, обумовлених симетрією, будемо вважати, що всі вікна мають центр в початковій точці. Проте, треба пам'ятати, що ця зручність є основним джерелом неправильного застосування вікон. При обчисленні ДПФ за допомогою вікон зсув на N/2 точок і пов'язаний з ним фазовий зсув часто не враховують або враховують неправильно. Зокрема, це стається в тих випадках, коли множення на вагову функцію вікна в часовій області замінюється поєднанням спектру сигналу із спектром вікна.

Визначимо точність апроксимації суми нескінченного ряду рівнянням (10.2).

(10.5)

Розглянемо вплив вікна на спектральні оцінки. З рівняння (10.5) видно, що перетворення Fw(ω) – це перетворення добутку, яке згідно з рівнянням (10.6) еквівалентне згортці двох перетворень:

(10.6)

Рівняння (10.6) є ключем до розуміння впливу кінцевої довжини послідовності даних на результати їх обробки. Інтерпретувати його можна двояко, але обидві інтерпретації еквівалентні. Легше всього пояснити це на конкретному прикладі. Візьмемо дискретне прямокутне вікно ω(nT)=1,0.Відомо, що W₍₎ — це ядро Діріхле , що має вигляд:

(10.7)

Якщо не враховувати член, що характеризує лінійний фазовий зсув (який зміниться через зсув на N/2 точок, необхідного для реалізації обчислювального алгоритму), то один період цього перетворення буде мати форму, показану на рис 10.2

Рис 10.2. Ядро Діріхле для послідовності з N точок

Щодо формули (7.6) можна сказати, що величина Fw(ω) на заданій частоті ω (наприклад, ω = ω₀)є сумою всіх спектральних гармонік, заздалегідь зважених спектральним вікном, з центром на частоті ω_о (рис 10.3).

Рис 10.3.. Графічна Інтерпретація рівняння (6). Вікно представлене у вигляді спектрального фільтра,

Еквівалентна шумова смуга

З рис. 10.3 видно, що оцінка амплітуди гармонійної компоненти на заданій частоті виявляться зміщеною через наявність широкосмугового шуму, що потрапляє в смугу пропускання вікна. В цьому випадку вікно поводиться як фільтр, потужність сигналу на виході якого пропорційна потужності гармонік вхідного сигналу в смузі його пропускання. Для виявлення гармонійного сигналу необхідно мінімізувати накопичений шум. Цього можна досягти за допомогою вузько смугового вікна. Зручною мірою ширини смуги пропускання вікна є його еквівалентна шумова смуга (ЕШС). ЕШС вікна - це ширина смуги пропускання прямокутного фільтра з тим же максимальним посиленням його потужності, який накопичує ту ж потужність шуму, що і дане вікно (рис. 10.4).

Рис. 10.4. Еквівалентна шумова смуга вікна

Накопичена вікном потужність шуму визначається виразом:

Потужність шуму рівна

(10.8)

де N₀ - потужність шуму в одиничній смузі частот. Згідно теореми Парсеваля, величину (10.8) можна обчислити так:

(10.9)

Максимальне підсилення по потужності відповідає частоті ; воно називається посиленням по потужності на нульовій частоті і визначається виразами:

Оскільки максимальне підсилення сигналу W(0)=, максимальне посилення за потужністю W²(0) = , ЕШС вікна, нормована на величину N₀/T- потужність шуму на бін (одиничний часовий інтервал), може бути записана у вигляді:

(10.10)

Підсилення і втрати перетворення

З ЕШС вікна тісно зв'язані поняття посилення перетворення (ПП) і втрат перетворення (ВП) при обчисленні ДПФ за допомогою вікон. Оскільки, ДПФ можна розглядати як результат пропускання сигналу через набір погоджених фільтрів, кожен з яких налаштований на одну з гармонік комплексної синусоїдальної послідовності базисної множини, можна проаналізувати підсилення перетворення (зване також когерентним підсиленням) фільтра і втрати перетворення, викликані тим, що вікно згладжує, тобто зводить до нуля, величини відліків, розташованих поблизу його меж. Хай вхідна послідовність відліків задана виразом:

(10.11)

Де - послідовність відліків білого шуму з дисперсією . Тоді становляча сигналу в спектрі, обчисленому за допомогою вікна (тобто вихід погодженого фільтра), буде рівна:

(10.12)

З (10.12) видно, що у відсутність шуму спектральна складова пропорційна вхідній амплітуді А. Таке ж буде і математичне очікування цієї складової за наявності шуму. Коефіцієнт пропорційності рівний сумі всіх відліків дискретного вікна, а ця сума є не що інше, як посилення вікна для постійного сигналу. Для прямокутного вікна цей коефіцієнт рівний N – числу відліків у вікні. Посилення будь-якого іншого вікна менше, оскільки вагова функція поблизу меж вікна плавно спадає до нуля. Зменшення коефіцієнта пропорційності характеризує помилку (зсув) оцінок амплітуд спектральних складових.

Некогерентна складова зваженого, тобто виконаного за допомогою вікна перетворення, обчислюється за формулою:

(10.13)

а некогерентна потужність (середньоквадратичне значення цієї складової) визначається виразом:

(10.14)

де Е{ } - оператор математичного очікування. Зауважимо, що некогерентне посилення за потужністю рівне сумі квадратів відліків вагової функції, а когерентне — квадрату суми цих відліків.

ПП визначається як частка відношення сигнал/шум на виході і на вході:

(10.15)

Тобто, ПП — це величина, зворотна нормованій ЕШС вікна.

Кореляція ділянок, що перекриваються

При використанні алгоритму ШПФ для обробки певної послідовності, цю послідовність заздалегідь ділять на декілька послідовностей по N відліків кожна, при цьому N вибирається так, щоб забезпечити необхідну спектральну роздільну здатність. Спектральна роздільна здатність ШПФ визначається формулою (10.16), де - спектральна роздільна здатність, f_s – частота дискретизації, вибрана за критерієм Найквіста, і β - коефіцієнт, що характеризує збільшення ширини смуги для вибраного вікна. Відзначимо, що - це якнайкраща роздільна здатність, досяжна при ШПФ. Коефіцієнт β звичайно вибирається рівним ЕШС вікна в бінах.

(10.16)

Якщо вікно і ШПФ впливають на ділянки послідовності (рис. 7.4), що не перекриваються, то значна частина даних просто ігнорується, оскільки поблизу меж вікна значення його відліків близькі до нуля. Так, наприклад, якщо перетворення використовується для виявлення коротких вузькополосних сигналів, то при аналізі ділянок, що не перекриваються, поява сигналу може виявитися просто непоміченою. Для цього достатньо, щоб сигнал з'явився поблизу межі будь-якого з інтервалів. Щоб уникнути таких втрат даних, перетворенню звичайно піддають ділянки послідовності, що перекриваються (див. рис. 10.5). Ступінь перекриття в більшості випадків вибирається рівній 50 або 75%. Розбиття сигналу на ділянки, що перекриваються, звичайно, збільшує загальний об'єм обчислень, проте результати, що досягаються з його допомогою, цілком це виправдовують.

Рис 10.5. Розбиття послідовностей на інтервали, що перекриваються та не перекриваються.

Паразитна амплітудна модуляція спектру

Важливим чинником, що впливає на виявлення слабих сигналів, є паразитна амплітудна модуляція спектру (scalloping loss), або ефект ''частоколу" (picket-fence effect). Раніше розглядалось виконуване за допомогою вікна ДПФ як результат пропускання сигналу через набір погоджених фільтрів і аналізували обумовлені специфічними властивостями вікна підсилення і втрати для тонів, співпадаючих з базисними векторами. Базисні вектори – це частоти, кратні частоті f_s/N, де f_s – частота відліків. Ці частоти не що інше, як точки відліків спектру, їх звичайно називають точками виходів, частотами гармонік або бінами ДПФ. Визначимо, які будуть додаткові втрати при опрацюванні сигналу, частота якого лежить посередині між частотами сусідніх бінів (тобто сигналу з частотою (k+1/2)f_s/N)?

В (10.12) замінивши ω_к на ω_к+1/2 одержуємо, що підсилення вікна для частоти, зсунутої на 0.5 біна, рівне:

(10.17)

Максимальні втрати перетворення

Максимальні втрати перетворення (ВП) можна визначити як суму максимальних втрат через паразитну AM спектру для даного вікна (в дБ ) і втрат перетворення, обумовлених формою цього вікна. Введений параметр характеризує зменшення співвідношення виходу сигнал/шум в результаті дії вікна при якнайгіршому розташуванні частоти сигналу. Його величина впливає на мінімальну інтенсивність частоти при якій вона ще може бути знайдена в широкосмуговому шумі. Рівень максимальних втрат лежить між 3.0 і 4.3 дБ. Вікна, для яких максимальні ВП перевищують 3.8 дБ, абсолютно незадовільні і їх не слід застосовувати.

Мінімальна допустима смуга частот

На рис.10.6 наведений ще один критерій, який повинен використовуватися при виборі оптимальних вікон. Оскільки вікно додає спектральній лінії деяку ефективну ширину, треба знати, при якій мінімальній відстані між двома спектральними лініями рівної інтенсивності головні пелюстки цих ліній ще можуть бути розділені незалежно від положення ліній щодо бінів ДПФ. Класичний критерій такого розділу – ширина вікна між точками, в яких потужність головного пелюстка спадає наполовину (ширина вікна по рівню 3.0 дБ). Цей критерій відображає той факт, що два головні пелюстки рівної інтенсивності, віддалені один від одного по частоті менш ніж на ширину вікна по рівню 3.0 дБ, будуть мати один загальний спектральний пік і не будуть розділятися як дві окремі лінії.

Рис. 10.6. Спектральний дозвіл двох близько розташованих ядер.

Проте цей критерій несумісний з когерентним підсумовуванням, використовуваним в ДПФ.

Якщо в когерентне підсумовування вносять внесок двоє ядер, їх сума в точці перетину (номінально посередині між ними) повинна бути менше ніж індивідуальні найвищі точки, якщо ці найвищі точки розділені. Таким чином, в точках перетину ядер посилення від кожного ядра повинне перевищувати 0.5, тобто відстань між списами повинна перевищувати ширину вікна по рівню 6.0 дБ.

Читайте також:

1. II. Основні закономірності ходу і розгалуження судин великого і малого кіл кровообігу
2. Адвокатура в Україні: основні завдання і функції
3. Амортизація основних засобів, основні методи амортизації
4. Аналітичні параметри
5. Аналітичні параметри
6. Артеріальний пульс, основні параметри
7. Банківська система та її основні функції
8. Біржові товари і основні види товарних бірж. Принципи товарних бірж.
9. Будова й основні елементи машини
10. Будова оптоволокна та основні фізичні явища в оптоволокні.
11. Будова, характеристики і параметри біполярного транзистора
12. Бюджетування (основні поняття, механізм).

Переглядів: 1379