• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Приклади розв’язування задач

1. Алгебра складається з усіх відображень множини {1,2} в себе: , , , . Операцією є композиція ○ відображень. Скласти таблицю Келі та дослідити властивості операції в цій алгебрі.

Розв‘язування. Таблиця Келі для операції ○ в заданій алгебрі має вигляд

Як відомо композиція відображень є асоціативною, отже алгебра A = (X; ○} є півгрупою, де X = {a, b, c, d}. У півгрупі A є одиничний (нейтральний) елемент c, оскільки "x Î X, x○c = c○x = x. Отже, півгрупа A є моноїдом. Оскільки a○b = b, а b○a = a, то моноїд не є абелевим.

2. Перевірити, чи утворює групу множина R₊ операція T, якщо вона задається як a T b = a²b⁴.

Розв‘язування. Для того, щоб алгебра була групою необхідно, щоб у алгебрі існував нейтральний елемент. Умовою існування нейтрального елемента e є "x Î R₊, e T x = x T e = x. Нехай e₁ –лівий, а e₂ –правий нейтральний елементи. Тоді e₁ T x = e₁²x⁴ = x, звідси e₁ = x ^–3/2. Разом з тим x T e₂ = x²e₂⁴ = x і e₂ = x ^–1/4. Як бачимо e₂ ≠ e₁. Таким чином, нейтрального елемента не існує, і тому задана алгебра не є групою.

3. Показати, що група додатних дійсних чисел відносно операції множення (R₊; ×) ізоморфна групі дійсних чисел відносно операції додавання (R; +).

Розв‘язування. Для доведення ізоморфізму можна використати наступне бієктивне відображення ln : R₊ ® R, яке зберігає групові операції - ln(a×b) = ln(a) + ln(b).

4. Довести, що множина всіх чисел виду (a та b – цілі числа), які додаються та множаться як звичайні дійсні числа, є кільцем.

Розв‘язування. Справді, замкнутість цієї множини відносно операцій додавання та множення випливає зі співвідношень () + () = (a + b) + (c + d)та ()() = (ac + 3bd) + (ad + bc). Таким чином, наведені операції є дійсно бінарними операціями на заданій множині.

Перевіримо спочатку, що задана множина з операцією додавання є абелевою групою. Оскільки числа виду є частковим випадком дійсних чисел, то операція їх додавання є асоціативною й комутативною. Нейтральним елементом відносно додавання, очевидно, є елемент . Оберненим для елемента відносно операції додавання є елемент .

Числа виду є частковим випадком дійсних чисел. Тому й операція їх множення є асоціативною. Значить, вказана множина відносно заданої операції множення є півгрупою.

Як згадувалося раніше, операції множення та додавання на заданій множині є операціями над дійсними числами. Тому вказана операція множення є дистрибутивною відносно операції додавання.

Отже множина всіх чисел виду (a та b – цілі числа), які додаються та множаться як звичайні дійсні числа, є кільцем.

Зауважимо, що згадана множина не є полем, бо не існує нейтрального елемента відносно операції множення, як показують наступні міркування.

Нехай - нейтральний елемент відносно операції множення. Тоді повинна виконуватися рівність . З неї отримуємо, що . Як бачимо зліва стоїть ціле число, а справа – ірраціональне. Ми отримали суперечність.

Читайте також:

1. Алгоритм розв’язання задачі
2. Алгоритм розв’язання розподільної задачі
3. Алгоритм розв’язування задачі
4. Алгоритм розв’язування задачі
5. Алгоритм розв’язування задачі
6. Алгоритм розв’язування задачі
7. Алгоритм розв’язування задачі
8. Алгоритм розв’язування задачі
9. Алгоритм розв’язування задачі оптимізації в Excel
10. Аналіз задач і алгоритмів
11. Аналіз інформації та постановка задачі дослідження
12. АНАЛІЗ ЛІНІЙНИХ МОДЕЛЕЙ ЕКОНОМІЧНИХ ЗАДАЧ

Переглядів: 2493