Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Контакти
 


Тлумачний словник






АНАЛІЗ ЛІНІЙНИХ МОДЕЛЕЙ ЕКОНОМІЧНИХ ЗАДАЧ

ТЕМА 4

 

4.1. Аналіз розв’язків ЛЕММ, рентабельності і дефіциту.

Економічну інтерпретацію двоїстої задачі розглянемо на прикладі задачі оптимального використання обмежених ресурсів. Для виробництва п видів продукції використовується т видів

ресурсів, запаси яких обмежені значеннями . Норма витрат кожного ресурсу на одиницю продукції становить . Ціна одиниці продукції j-го виду дорівнює

.Математична модель задачі має такий вигляд:

Пряма задача полягає у визначенні такого оптимального плану виробництва продукції , який дає найбільший дохід.

Двоїста задача до поставленої прямої буде така:

Економічний зміст двоїстої задачі полягає ось у чому. Визначити таку оптимальну систему двоїстих оцінок ресурсів уi,використовуваних для виробництва продукції, для якої загальна вартість усіх ресурсів буде найменшою. Оскільки змінні двоїстої задачі означають цінність одиниці 7-го ресурсу, їх інколи ще називають тіньовою ціною відповідного ресурсу.

За допомогою двоїстих оцінок можна визначити статус кожного ресурсу прямої задачі та рентабельність продукції, що виготовляється.

Ресурси, що використовуються для виробництва продукції, можна умовно поділити на дефіцитні та недефіцитні залежно від того, повне чи часткове їх використання передбачене оптимальним планом прямої задачі. Якщо двоїста оцінка , в оптимальному плані двоїстої задачі дорівнює нулю, то відповідний і-й ресурс використовується у виробництві продукції не повністю і є недефіцитним. Якщо ж двоїста оцінка , то і-й ресурс використовується для оптимального плану виробництва продукції повністю і називається дефіцитним. У цьому разі величина двоїстої оцінки показує, на скільки збільшиться значення цільової функції Z, якщо запас відповідного ресурсу збільшити на одну умовну одиницю.

Аналіз рентабельності продукції, що виготовляється, виконується за допомогою двоїстих оцінок і обмежень двоїстої за дачі. Ліва частина кожного обмеження двоїстої задачі є вартістю всіх ресурсів, які використовують для виробництва одиниці j-ї продукції. Якщо ця величина перевищує ціну одиниці продукції (), виготовляти продукцію не вигідно, вона нерентабельна і в оптимальному плані прямої задачі відповідна . Якщо ж загальна оцінка всіх ресурсів дорівнює ціні одиниці продукції, то виготовляти таку продукцію доцільно, вона рентабельна і в оптимальному плані прямої задачі відповідна змінна .

Економічна інтерпретація двоїстих задач та аналіз економіко-математичних моделей на чутливість за допомогою теорії двоїстості дають змогу модифікувати оптимальний план задачі лінійного програмування відповідно до змін умов прямої задачі й дістати при цьому такі результати.

1. Зміна різних коефіцієнтів у прямій математичній моделі може вплинути на оптимальність і допустимість отриманого плану та привести до однієї з таких ситуацій:

-склад змінних та їх значення в оптимальному плані не змінюються;

-склад змінних залишається попереднім, але їх оптимальні значення змінюються;

-змінюються склад змінних та їх значення в оптимальному плані задачі.

2. Уведення додаткового обмеження в математичну модель задачі впливає на допустимість розв'язку і не може вплинути на поліпшення значення цільової функції.

3. Уведення нової змінної в математичну модель задачі впливає на оптимальність попереднього плану і не погіршує значення цільової функції.

4.2. Навчальні завдання

Розглянемо конкретний приклад, що підтверджує зроблені висновки.

Задача 4.1.Деяке підприємство виробляє чотири види продукції А, В, С і Д, використовуючи для цього три види ресурсів 1, 2 і 3. Норми витрат ресурсів на одиницю кожної продукції (в умовних одиницях) наведено в таблиці:

Ресурс Норма витрат на одиницю продукції, ум. од., за видами продукції Запас ресурсу
А В С Д

Відома ціна одиниці продукції кожного виду: для продукції А – 2 ум. од., для Вi Д – по 4 од., для С – 3 од. Визначити оптимальний план виробництва продукції кожного виду в умовах обмеженості ресурсів, який дає підприємству найбільший дохід. На ведемо симплекс-таблицю, що відповідає оптимальному плану поставленої задачі.

Базис План
-2 -1 1/2 3/2 1/2 -1 -1/2 -1
5/2 1/2

Виконаємо зазначені далі дії.

1. Сформулювати математичну модель даної задачі лінійного програмування та двоїстої до неї.

2. Записати оптимальні плани прямої та двоїстої задач і зроби ти їх економічний аналіз.

3. Визначити статус ресурсів прямої задачі та інтервали стійкості двоїстих оцінок відносно зміни запасів дефіцитних ресурсів.

4. Визначити план виробництва продукції та зміну загального доходу підприємства, якщо запас першого ресурсу збільшити на 10 од., другого – зменшити на 10 од., а третього – збільшити на 20 ум. од.

5. Визначити рентабельність кожного виду продукції, що виготовляється на підприємстві.

6. Розрахувати інтервали можливої зміни ціни одиниці кожного виду продукції.

Розв'язування. 1. Математичні моделі прямої та двоїстої задачі мають такий вигляд:

 

де - обсяг виробництва продукції j-го виду ()

де - оцінка одиниці і-го виду ресурсу ().

2. З наведеної симплекс-таблиці маємо:

Оптимальний план прямої задачі передбачає виробництво лише двох видів продукції С і Д у кількості відповідно 35 та 45 од. Випуск продукції А та В не передбачається . Додаткові змінні характеризують залишок (невикористану частину) ресурсів відповідно 1, 2 та 3. Оскільки , другий ресурс використовується у процесі виробництва продукції не повністю, а перший та третій ресурси — повністю . За такого оптимального плану виробництва продукції та використання ресурсів підприємство отримує найбільший дохід у розмірі 285 ум. од.

План двоїстої задачі дає оптимальну систему оцінок ресурсів, що використовуються у виробництві. Так, та відмінні від нуля, а ресурси 1 та 2 використовуються повністю. Двоїста оцінка і відповідний вид ресурсу не повністю використовується при оптимальному плані виробництва продукції. Це підтверджується також попереднім аналізом додаткових змінних оптимального плану прямої задачі. Така оптимальна система оцінок дає найменшу загальну вартість усіх ресурсів, що використовуються на підприємстві: ум. од.

3. Статус ресурсів прямої задачі можна визначити трьома способами. Перший — підстановкою у систему обмежень прямої задачі. Якщо обмеження виконується як рівняння, то відповідний ресурс дефіцитний, у противному разі — недефіцитний.

Другий спосіб – за допомогою додаткових змінних прямої задачі. Якщо додаткова змінна в оптимальному плані дорівнює нулю, то відповідний ресурс дефіцитний, а якщо відмінна від нуля – ресурс недефіцитний.

Третій спосіб – за допомогою двоїстих оцінок. Якщо , то зміна (збільшення або зменшення) обсягів і-го ресурсу приводить до відповідної зміни доходу підприємства, і тому такий ресурс є дефіцитним. Якщо , то і- й ресурс недефіцитний. Так,

Отже, якщо запас першого дефіцитного ресурсу збільшити на одну умовну одиницю , то цільова функція збільшиться за інших однакових умов на ум. од. і становитиме ум. од. Але за рахунок яких змін в оптимальному плані виробництва продукції збільшиться дохід підприємства? Інформацію про це дають елементи стовпчика «» останньої симплекс-таблиці, який відповідає двоїстій оцінці . У новому оптимальному плані значення базисної змінної збільшиться на 1/2, змінної— зменшиться на одиницю, а — на 1/2. При цьому структура плану не зміниться, а нові оптимальні значення змінних будуть такими:

=(0; 0; 34,5; 45,5; 0; 29; 0).

Отже, збільшення запасу першого дефіцитного ресурсу за інших однакових умов приводить до зростання випуску продукції Д та падіння виробництва продукції С, а обсяг використання ресурсу 2 збільшується. За такого плану виробництва максимальний дохід підприємства буде , тобто зросте на .

Проаналізуємо, як зміниться оптимальний план виробництва продукції, якщо запас дефіцитного ресурсу 2 за інших однакових умов збільшити на одну умовну одиницю. Аналогічно попереднім міркуванням, скориставшись елементами стовпчика «» останньої симплекс-таблиці, що відповідає двоїстій оцінці , можна записати новий оптимальний план:

Отже, дохід підприємства збільшиться на дві умовні одиниці за рахунок збільшення виробництва продукції С на дві одиниці та зменшення випуску продукції Д на одну одиницю. При цьому обсяг використання ресурсу 2 не змінюється.

Але після проведеного аналізу постає логічне запитання: а чи зберігатимуться встановлені пропорції, якщо запас дефіцитного ресурсу змінити не на одиницю, а наприклад, на 10 ум. од.? Щоб однозначно відповісти на поставлене запитання, необхідно розрахувати інтервали можливої зміни обсягів дефіцитних ресурсів, у межах яких двоїсті оцінки залишаються на рівні оптимальних значень.

Приріст (зміну) запасу ресурсу 1 позначимо. Тоді, якщо , то новий оптимальний план

Єдина вимога, яку можна поставити до можливих нових оптимальних значень, — це умова невід'ємності, тобто

Це означає, що коли запас ресурсу 1 збільшиться на 30 ум. од. або зменшиться на 90 ум. од., то оптимальною двоїстою оцінкою ресурсу 1 залишиться . Отже, запас ресурсу 1 може змінюватись у межах

Згідно з цим максимально можливий дохід підприємства перебуватиме в межах

а оптимальний план виробництва продукції

(0; 0; 80; 0; 0; 120; 0) (0; 0; 20; 60; 0; 0; 0).

Аналогічно розраховується інтервал стійкості двоїстої оцінки дефіцитного ресурсу 3:

Отже, якщо запас ресурсу 3 збільшиться на 45 ум. од. або зменшиться на 17,5 ум. од., то двоїста оцінка цього ресурсу залишиться оптимальною. Згідно із цим можливий дохід підприємства та оптимальний план виробництва продукції перебуватимуть у межах

(0; 0; 0; 62,5; 0; 30; 0) (0; 0; 125; 0; 0; 30; 0).

Зауважимо, що визначені інтервали стосуються лише випадків, коли змінюється тільки один ресурс, а запаси всіх інших фіксовані, тобто за інших однакових умов. У разі одночасної зміни обсягів усіх або кількох ресурсів підхід до визначення нового оптимального плану дещо інший.

4. За умовою задачі обсяги всіх трьох ресурсів змінюються відповідно . Для визначення компонентів нового оптимального плану скористаємось одним із головних співвідношень обчислювальної процедури симплекс-методу:

З останньої симплекс-таблиці можна записати обернену матрицю:

Змінені запаси ресурсів утворюють вектор

Тоді новий оптимальний план виробництва продукції за відповідної одночасної зміни запасів усіх трьох ресурсів

тобто X*(0; 0; 70; 30; 0; 10; 0).

Усі , і тому оптимальним планом двоїстої задачі залишається =(1/2; 0; 2). Загальний максимальний дохід підприємства зміниться на ум. од. і становитиме ум. од.

5. Оцінка рентабельності продукції, що виготовляється на підприємстві, виконується за допомогою двоїстих оцінок та обмежень двоїстої задачі, які характеризують кожний вид продукції.

Підставимо у систему обмежень двоїстої задачі. Якщо вартість ресурсів на одиницю продукції (ліва частина) перевищує ціну цієї продукції (права частина), то виробництво такої продукції для підприємства недоцільне. Якщо ж співвідношення виконується як рівняння, то продукція рентабельна.

Аналогічні результати можна дістати, проаналізувавши двоїсті оцінки додаткових змінних, значення яких показують, на скільки вартість ресурсів перевищує ціну одиниці відповідної продукції. Тому, якщо додаткова змінна двоїстої задачі дорівнює нулю, то продукція рентабельна. І, навпаки, якщо , то відповідна продукція нерентабельна.

Додаткові змінні двоїстої задачі розміщуються в оцінковому рядку останньої симплекс-таблиці у стовпчиках «» - «». їх оптимальні значення . Тому продукція А і В нерентабельна, а продукція С і Д — рентабельна.

6. Під впливом різних обставин ціна одиниці продукції на підприємстві може змінюватися (збільшуватися чи зменшуватися). І тому завжди цікаво знати, у межах яких змін ціни продукції кожного виду оптимальний план її виробництва залишається таким: = (0;0;35;45).

Для визначення інтервалів зміни коефіцієнтів цільової функції скористаємось тим, що при цьому симплекс-таблиця, яка відповідає оптимальному плану, зберігає свій вигляд за винятком елементів оцінкового рядка. Нові оцінки мають задовольняти умову оптимальності задачі максимізації, тобто бути невід'ємними.

Зміну коефіцієнта позначимо . Оскільки — небазисна змінна, то в симплекс-таблиці зміниться лише відповідна оцінка .

.

За умови дістанемо нерівність , тобто . Це означає, що коли ціна одиниці продукції А за інших однакових умов зросте не більш як на 5 ум. од., то оптимальним планом виробництва продукції на підприємстві все одно залишиться = (0; 0; 35; 45). Лише максимальний дохід зміниться на max .

Аналогічно розраховується інтервал зміни коефіцієнта :

Зі зростанням ціни одиниці продукції В на 5/2 ум. од. за інших однакових умов оптимальний план виробництва продукції не зміниться, а .

Дещо складніше розраховується інтервал зміни коефіцієнтів для базисних змінних. У цьому разі зміни відбуваються також у стовпчику «Сбаз» симплекс-таблиці, а це, у свою чергу, стосується всіх ненульових оцінок . Так, для базисної змінної х3 зміна коефіцієнта на приведе до таких оцінок:

Нові значення оцінок мають задовольняти умову оптимальності, тобто . Тому інтервал для визначається з такої системи нерівностей:

Отже, ціна одиниці продукції С може збільшуватися та зменшуватися на 1 ум. од. і перебувати в межах від 2 до 4 ум. од., але оптимальним планом виробництва продукції залишається = (0;0;35;45).

Для базисної невідомої інтервал зміни коефіцієнта розраховується аналогічно:

Якщо за інших однакових умов ціна одиниці продукції Д зменшиться до 3 ум. од. або збільшиться до 6 ум. од., то оптимальний план виробництва продукції на підприємстві не зміниться (= (0; 0; 35; 45)).

Якщо коливання ціни продукції виходять за визначені межі, то план = (0; 0; 35; 45) вже не буде оптимальним і його необхідно буде поліпшити згідно з алгоритмом симплекс-методу, тобто продовжити розв'язування задачі.

Виконаний у цій задачі аналіз лінійної моделі на чутливість дає широкий спектр динамічної інформації про визначений оптимальний план і дає змогу дослідити можливі зміни цього оптимального плану в результаті коректування умов прямої задачі.

 

4.3. Аналіз цільової функції і коефіцієнтів технологічної матриці. Приклади:

Фірма виготовляє продукцію трьох видів А, В і С. Для цього потрібний певний час обробки кожної продукції на різних групах обладнання (1, 2, 3) (див. таблицю).

Ресурс Час обробки продукції, год, за видами
А В С

 

Можливий час роботи обладнання кожного типу становить відповідно 360, 520 та 220 год на місяць. Ціна одиниці продукції А дорівнює 90 дол., продукції В — 110дол., а продукції С — 150 дол. Визначити, яку продукцію і в якій кількості слід виготовляти, щоб фірма отримувала найбільший дохід.

Розв'язування задачі симплекс-методом дає таку останню симплексну таблицю:

Базис План
-1 -1/2 1/2 -1/2 -1
20 600

 

Керівництво фірми цікавить, чи зміниться оптимальний план виробництва продукції і якщо зміниться, то яким буде новий оптимальний план у кожній з наведених далі ситуацій.

1. Фірма може збільшити час роботи обладнання груп 2 та 3 відповідно на 100 та 80 год за місяць, орендуючи для цього додаткове обладнання, яке коштуватиме 5000 дол. Чи вигідно це? Якщо вигідно, то яким має бути новий план виробництва продукції?

2. Фінансовий відділ фірми вважає, що загострення конкуренції на ринку збуту може призвести до зниження ціни на продукцію В на 25 дол. Як це позначиться на оптимальному плані виробництва продукції фірми?

3. Відділ досліджень і розробок фірми пропонує виготовляти дешевшу модифікацію продукції С. Для виробництва одиниці цієї нової продукції потрібний час роботи обладнання груп 1, 2 та 3 становить відповідно 4, 3 та 1 год. Орієнтовна ціна одиниці нової продукції дорівнює 120 дол. Керівництво фірми цікавить, чи буде за таких умов виробництво нової продукції вигідним.

4. Споживач продукції А за певних обставин порушує попере дню домовленість і відмовляється прийняти більш як 100 од. продукції А. Визначити, як фірма має змінити план виробництва своєї продукції, щоб уникнути втрат, пов'язаних із надвиробництвом відповідного виду продукції.

 

Розв'язування. Із наведеної в умові задачі симплекс-таблиці маємо: = (180; 40; 0; 100; 0; 0), = (0; 10; 70). Оптимальним планом виробництва продукції на фірмі є випуск 180 од. продукції А та 40 од. продукції В. Виготовлення продукції виду С не передбачається. При цьому фірма отримає максимальний дохід у розмірі 20 600 дол. на місяць.

1. Збільшення часу роботи обладнання дасть змогу збільшити випуск продукції, тобто змінить оптимальний план і дохід фірми. Оскільки новий оптимальний план визначається так:

 

Новий план допустимий (всі ), і тому оптимальні двоїсті оцінки зберігають свої значення: = (0; 10; 70). Приріст доходу фірми в результаті зміни оптимального плану виробництва продукції розраховується так:

дол.

Оскільки дохід фірми від додаткового використання обладнання груп 2 і 3 перевищує витрати на оренду цього обладнання (6600 > 5000), то природно, що така тактика фірми буде вигідною. При цьому оптимальним планом виробництва стане випуск 290 од. продукції А і 10 од. продукції В. Невикористаний час роботи обладнання групи 1 зменшиться до 50 год на місяць, а дохід фірми за відрахуванням витрат на оренду обладнання дорівнюватиме 20 600 + (6600 - 5000) = 22 200 дол. на місяць.

2. Зміна ціни одиниці продукції В на (25 дол.) стосується всього оцінкового рядка симплекс-таблиці, оскільки х2 є базисною змінною. Нові матимуть такі значення:

Коли б усі здобуті оцінки задовольняли умову Z5С5 ≥ 0, то це означало б, що попри зниження ціни план виробництва продукції на фірмі не зміниться. Але оцінка не задовольняє умову оптимальності задачі на максимум, і тому можна зробити такий висновок. Істотне зниження ціни одиниці продукції В порушує визначений раніше оптимальний план виробництва продукції, оскільки випуск продукції виду В стає для фірми невигідним, нерентабельним.

Новий оптимальний план визначається у процесі подальшого розв'язування задачі симплекс-методом:

Базис План q
-1 -1/2 -1/2 -1 - -
19 600 -2,5  
-2 -1 -2
19 800

 

Отже, у розглянутій ситуації зниження ціни одиниці продукції виду В на 25 дол. різко змінить структуру та обсяги виробництва продукції на фірмі. Вигідним стане випуск лише продукції А у кількості 220 од.: при цьому час роботи обладнання груп 1 і 2 використовуватиметься повністю. Усе це призведе до зменшення доходу фірми до 19 800 дол. на місяць.

3. Обсяг виробництва нової продукції в оптимальному плані позначимо . Тоді математична модель прямої задачі матиме такий вигляд:

 

У математичній моделі двоїстої задачі змінній відповідатиме таке обмеження: . Оцінимо рентабельність нової продукції за допомогою двоїстих оцінок: , що є меншим за 120 дол. Загальна вартість усіх ресурсів, що витрачаються на випуск одиниці нової продукції, не перевищує орієнтовної ціни цієї продукції, і тому її виробництво для фірми є вигідним, рентабельним. Завдяки цьому визначений раніше оптимальний план виробництва продукції можна поліпшити за рахунок уведення в нього .

Для цього за допомогою оберненої матриці необхідно визначити елементи стовпчика «» останньої симплекс-таблиці:

Результати однієї ітерації симплекс-методу, що приводить до нового оптимального плану задачі, наведено далі.

Базис План q
-1 -1/2 1/2 -1/2 -1 1/2 1/2
20 600 -20  
6/5 -8/5 12/5 2/5 -1/5 -1/5 -1/5 3/5 -2/5 -1
21 400

 

Як бачимо з таблиці, = (160; 20; 0; 0; 0; 0; 40), . Керівництво фірми має підтримати пропозицію відділу досліджень та розробок і налагодити виробництво нової продукції, яка є рентабельною, виготовляючи її в кількості 40 од.; відповідно продукції А — 160 од. і продукції В — 20 од. Такий новий оптимальний план виробництва продукції збільшить дохід фірми до 21 400 дол. на місяць.

4. Четверта запропонована ситуація математично пов'язана з уведенням в умову задачі додаткового обмеження, що може при вести до таких наслідків:

а) нове обмеження для визначеного оптимального плану виконується і тоді воно є надлишковим, зайвим і його включення до моделі не змінює визначеного плану;

б) нове обмеження для визначеного оптимального плану не виконується, і тоді за допомогою двоїстого симплекс-методу не обхідно знайти новий оптимальний план.

За умовою задач додатковим є обмеження . Але воно суперечить оптимальній кількості продукції А, яка дорівнює 180 од. Тому необхідно приєднати це додаткове обмеження до симплекс-таблиці та продовжити розв'язування задачі, але вже за допомогою двоїстого симплекс-методу. Для цього спочатку зведемо додаткове обмеження до канонічного вигляду:

Оскільки в оптимальному плані змінна х1є базисною, її необхідно записати через небазисні невідомі. Це робиться так. У симплекс-таблиці, яку наведено в умові задачі, рядок змінної “х1” подається рівнянням

З цього рівняння визначимо :

Підставивши цей вираз в додаткове обмеження, отримаємо

або

У такому вигляді додаткове обмеження дописується в симплекс-таблицю. Застосування двоїстого симплекс-методу приведе до нового оптимального плану задачі:

Базис План
-80 -1 -1/2 1/2 -1/2 1/2 -1 -2
20 600
200/3 80/3 1/3 -1/6 -2 -1/3 2/3 -1/3 -1/3
35/3 190/3 10/3

 

З останньої таблиці маємо = (100; 200/3; 80/3; 20; 0;0), .

Проаналізуємо цей план. Реалізація запропонованої в умові задачі ситуації змінює структуру та кількісний вираз оптимального плану. Тепер з урахуванням вимог споживача фірма виготовлятиме 100 од. продукції А, 200/3 од. продукції В і 80/3 од. продукції С. У результаті такого плану випуску продукції дохід фірми зменшиться до 20 333 дол. на місяць.


 

ТЕМА 5


Читайте також:

  1. ABC-XYZ аналіз
  2. H) інноваційний менеджмент – це сукупність організаційно-економічних методів управління всіма стадіями інноваційного процесу.
  3. II. Багатофакторний дискримінантний аналіз.
  4. II. Критерій найбільших лінійних деформацій
  5. SWOT-аналіз у туризмі
  6. SWOT-аналіз.
  7. Tема 4. Фації та формації в історико-геологічному аналізі
  8. V. Нюховий аналізатор
  9. АВС (XYZ)-аналіз
  10. Автомати­зовані інформаційні систе­ми для техніч­ного аналізу товар­них, фондових та валют­них ринків.
  11. Адміністративно-політичний устрій Української козацької держави середини XVII ст. Зміни в соціально-економічних відносинах
  12. Адміністративно-політичний устрій Української козацької держави середини XVII ст. Зміни в соціально-економічних відносинах




Переглядів: 3754

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Двоїсті оцінки. Стійкість оптимальних планів прямої та двоїстої задач. | Економічна і математична постановка ТЗ. Умови існування розв’язку ТЗ.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

 

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.011 сек.