Означення 1.4.1. Система лінійних рівнянь (3.1) називається однорідною, якщо праві частини усіх рівнянь системи дорівнюють нулю.
Згідно з означенням однорідна система має вигляд
(4.1)
Однорідна система (4.1) завжди є сумісною, оскільки має нульовий (тривіальний) розв’язок: . Окрім нульового розв’язку, однорідна система може мати й ненульові розв’язки. Теорема 1.4.1 наводить достатню умову існування ненульового розв’язку однорідної системи (4.1).
Теорема 1.4.1. Якщо число рівнянь m однорідної системи (4.1) менше за число її невідомих n , то ця однорідна система має нетривіальний розв’язок.
4Приводимо розширену матрицю системи з m рівняннями до східчастого вигляду за допомогою елементарних перетворень рядків. Система рівнянь, що відповідає східчастій матриці, за теоремою 1.3.1 еквівалентна вихідній системі (4.1). Оскільки кількість рівнянь вихідної системи була менша за число невідомих , то, зрозуміло, що кількість r ненульових рядків у східчастій матриці також менша за число n невідомих . На підставі цього робимо висновок, що система неозначена і, тому має нескінченне число розв’язків, відмінних від нульового. 3