Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Деякі економічні задачі

 

Задача міжгалузевого балансу

 

В деяких задачах макроекономіки ставиться питання про ефе-ктивне ведення багатогалузевого господарства. Тут кожна галузь є і виробником , і споживачем деякої продукції (як своєї, так і продук-ції, виробленої іншими галузями).

Однак, з економічної точки зору, міжгалузевий баланс є більш ефективним у вартісному виразі. При цьому об’єднання окремих галузей у підгрупи полегшує складання балансів продукції.

Введемо такі позначення:

xi -загальна вартість продукції,виробленої в і-ій галузі(план вало-вого випуску продукції) (i=1,2,…,n);

 

xij - вартість продукції i − ої галузі, необхідної для випуску

 

продукції j − го підрозділу ( j = 1,2,...,n ) ;

 

yi -вартість продукції i −ої галузі,призначеної для реалізації(кін-

 

цевий продукт).     i −ої галузі,        
  Прямі витрати одиниць які використовуються  
для випуску одиниці виробу продукції j −ої галузі,а також кінце-  
вий продукт задані таблицею:              
  Вартість   Прямі витрати     Кінцевий    
  продукції   n   продукт    
  x1 x11 x12   X1n   y1    
  x2 x21 x22   X2n   y2    
         
  xn xn1 xn2   xnn   yn    

Зв’язок між цими величинами запишемо у вигляді системи рі-внянь:


 


    x1 = x11 + x12 + ...+ x1n + y1 ,      
          + x22 + ...+ x2n + y2 ,      
    x2 = x21      
      .............................................        
             
          + xn2 + ...+ xnn + yn .      
    xn = xn1      
Рівняння цієї системи називаються балансовими.      
Позначимо aij - вартість продукції i − ої галузі ,   необхідної  
для випуску одиниці продукції j −ої галузі:      
          aij = xij .        
                 
            x j      
Матриця, складена із величин aij      
a11 a12 ... a1n                
  називається        
  a22 ...            
a21 a2n   матрицею прямих        
A = ... ... ... ...          
            витрат,        
an1 an2 ... ann                
               
а її елементи – коефіцієнтами прямих витрат.      
Враховуючи, що xij = aijxj , вихідна система запишеться так:  
  x1 = a11 x1 + a12 x2 + ... + a2n xn + y1 ,      
                       
  x2 = a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn + y2 ,      
    ........................................................      
         
                       
або xn = an1 x1 + an2 x2 + ... + ann xn + yn ,      
x1 ( a11 x1 + a12 x2 + ...+ a2n xn ) = y1 ,      
                       
  x2 − ( a21 x1 + a22 x2 + ...+ a2n xn ) = y2 ,      
    ........................................................      
         
                       
  xn − ( an1 x1 + an2 x2 + ...+ ann xn ) = yn .    
Позначимо через                    
x1             y1      
                     
X = x2 і назвемо вектор-планом X , а Y = y2   і назвемо  
...             ...      
                     
xn             yn      

вектором кінцевих продуктів Y.


 


Попередня система запишеться у вигляді матричного рівняння

X AX = Y ,або EX AX = Y ,звідси ( E A )X = Y ,

 

де E - одинична матриця.

Позначимо EA = B , тоді система лінійних алгебраїчних рівнянь запишеться так BX = Y .

Помножимо з лівого боку обидві частини рівняння на B1 :

B1 BX = B1Y .Звідси X = B1Y .

 

Тобто вектор-план X можна знайти, помноживши B1 на вектор кінцевих продуктів.

 

Матриця B1 називається матрицею повних витрат. Елемен-ти цієї матриці включають прямі і непрямі витрати.

 

Задача 1.Прямі витрати трьох галузей виробництва,а такожобсяги кінцевих продуктів ( у грошових одиницях) задані у таблиці:

 

Продукція цехів   Прямі витрати Кінцевий продукт
     
0,2   0,3 0,1
0,4   0,2 0,5
0,1   0,3 0,6

 

Потрібно знайти:

 

1) матрицю повних витрат;

2) план кожної галузі;

3) виробничу програму галузей;

4) коефіцієнти непрямих витрат.

Розв’язування. Із таблиці видно,що матриця прямих витрат

  ,2 0 ,3 0 ,1  
буде:   ,4 0 ,2 ,5    
A = 0 .  
  0 ,1 0 ,3 ,6    

Позначимо через Х - вектор - план галузей виробництва, Y - ве ктор кінцевих продуктів:

x1      
X = x2 , Y = 80 .
x3

Зв’язок між величинами, записаних в таблиці представимо у вигляді системи лінійних рівнянь:


 


x1 x2 x3


( 0 ,2 x1 + 0 ,3 x2 + 0 ,1x3 ) = 50 , ( 0 ,4 x1 + 0 ,2 x2 + 0 ,5 x3 ) = 80 , ( 0 ,1x1 + 0 ,3 x2 + 0 ,6 x3 ) = 100.


 

В матричній формі маємо : Х−AХ=Y , або (E−A)Х=Y. Позначимо E−A=B. Система лінійних алгебраїчних рівнянь

запишеться в матричній формі:BX=Y. Звідси X= B-1Y. В нашій задачі

1 0 00 ,2 0 ,3 0 ,10 ,8 0 ,3 0 ,1
E − A = 0 1 0 − 0 ,4 0 ,2 0 ,5 =− 0 ,4 0 ,8 0 ,5 = B.
0 ,1 0 ,3 0 ,6 0 ,1 − 0 ,3 0 ,4
                 

Для знаходження оберненої В-1до матриці В, обчислимо ви-значник:

    0 ,8 − 0 ,3 − 0 ,1      
     
B   =   − 0 ,4 0 ,8 − 0 ,5   = 0 ,256 0 ,015 0 ,012 0 ,008  
   
        − 0 ,1 0 ,3 0 ,4      
     

0 ,048 0 ,12 = 0 ,053.

 

Тому для матриці В існує обернена В-1. Знайдемо алгебраїчні доповнення до елементів матриці В :

b = ( −1 )2         0 ,8 − 0 ,5         = 0 ,32 0 ,15 = 0 ,17 ;  
             
                        − 0 ,3 0 ,4                        
                                                 
b = ( −1 )3                 − 0 ,4 − 0 ,5         =−(0 ,16 0 ,05 ) = 0 ,11;  
               
                        − 0 ,1 0 ,4                        
                                                 
                − 0 ,4 0 ,8                 = 0 ,12 + 0 ,08 = 0 ,2;  
                   
b = ( −1 )                                            
                        − 0 ,1 − 0 ,3            
                                     
b = ( −1 )3           − 0 ,3 − 0 ,1         =−(0 ,12 0 ,03 ) = 0 ,15;  
         
                        − 0 ,3 0 ,4                        
                                                 
        0 ,8 − 0 ,1     = 0 ,32 0 ,01 = 0 ,31;  
         
b = ( −1 )                                          
                        − 0 ,1 0 ,4                        
                                                 
      0 ,8 − 0 ,3     =−(0 ,24 0 ,03 ) = 0 ,27 ;  
         
b = ( −1 )                                              
                        − 0 ,1 0 ,3                        
                                                 

 


b = ( −1 )4           − 0 ,3 − 0 ,1   = 0 ,15 + 0 ,08 = 0 ,23;  
         
      0 ,8 − 0 ,5                
                       
        0 ,8 − 0 ,1       =−( −0 ,4 0 ,04 ) = 0 ,44;  
           
b = ( −1 )                        
          − 0 ,4 − 0 ,5                
                           
    0 ,8 − 0 ,3     = 0 ,64 − 0 ,12 = 0 ,52.  
       
b = ( −1 )                      
          − 0 ,4 0 ,8                
                           

 

Матриця з цих алгебраїчних доповнень буде:

 

    0 ,17 0 ,11 0 ,2  
    0 ,15 0 ,31 0 ,27 ,  
    0 ,23 0 ,44 0 ,52  
    0 ,17 0 ,15 0 ,23  
а приєднана B П = 0 ,11 0 ,31 0 ,44 .  
      0 ,27    
    0 ,2 0 ,52  

Обернена матриця має вигляд :

          0 ,17 0 ,15 0 ,23 3 ,21 2 ,83 4 ,34  
  − 1                        
B   =       0 ,11 0 ,31 0 ,44 2 ,08 5 ,85 8 ,3 .  
       
    0 ,053   0 ,2 0 ,27 0 ,52     3 ,77 5 ,09 9 ,81    
           
                               
Елементи цієї матриці B-1 - це коефіцієнти повних витрат, а  
сама матриця є матрицею коефіцієнтів повних витрат.    
2) Для знаходження плану кожної галузі, помножимо B1 на  
вектор кінцевих продуктів Y :                  
          3,21 2,83 4 ,34 50 x1  
X = B 1Y = 2,08 5 ,85 8,3   80 ≈ = x2 .  
          3,77 5 ,09 9,81 x3  
Значить: x1 = 821; x2 = 1402; x3 = 1577.        
Отже, якщо відомо обсяг кінцевої продукції (у грошових оди-  
ницях) y1 = 50; y2 = 80; y3 = 100 , то потрібно запланувати такі об-  

 

сяги виробництва для першої галузі - 821, для другої - 1402 і для третьої - 1577.

 

3) Для знаходження виробничої програми кожної галузі, знай-демо добуток коефіцієнтів прямих витрат і валового випуску проду-кції:

x11 = a11 x1 = 0 ,2 821 = 164 ,2; x12 = a12 x2 = 0 ,3 1402 = 420 ,6 ;


 


x13 = a13 x3 x22 = a22 x2 x31 = a31 x1 x33 = a33 x3


= 0 ,1 1577 = 157 ,7 ; x21 = a21 x1 = 0 ,1 821 = 82,1;

 

= 0 ,2 1402 = 280 ,4; x23 = a23 x3 = 0 ,5 1577 = 788,5; = 0 ,1 821 = 82,1; x32 = a32 x2 = 0 ,3 1402 = 420 ,6 ;

 

= 0 ,6 1577 = 946 ,2.


 

Різниця між матрицею повних витрат B1 і матрицею прямих витрат A визначає матрицю непрямих (посередницьких) витрат C :

    ,21 2,83 4 ,34 ,2 0 ,3 0 ,1
C = B 1 A = 2 ,08 5 ,85 8,3 0 ,4 0 ,2 ,5 =
    ,77 5 ,09 9,81 0 ,1 0 ,3 ,6
3,01 2,53 4 ,24              
1,68 5 ,65 7 ,8 .              
3,67 4 ,79 9,21              

Таким чином, елементи сij матриці C і є коефіцієнтами не-

 

прямих (посередницьких) витрат.

 

Задача 2.(задача знаходження витрат сировини, палива та трудових ресурсів.)Використовуючи вихідні дані і результати об-числень попередньої задачі 1, потрібно знайти:

1. Сумарні витрати сировини, палива і трудових ресурсів для виконання програми виробництва.

 

2. Коефіцієнти прямих витрат сировини, палива та праці на одиницю продукції кожної галузі.

3. Повні витрати сировини, палива і праці окремими галузями

і господарством в цілому.

4. Внутрівиробничі витрати галузей.

5. Внутрівиробничі витрати на кожну одиницю товарної продукції.

 

При цьому відомі витратні норми сировини і палива на виро-бництво одиниці продукції кожної галузі, трудомісткість в людино-годинах на одиницю продукції, їх вартість і представлені таблицею:

 

Показники Норми витрат цехів Вартість
   
Сировина 0,8 1,2
Паливо 1,5
Трудомісткість 1,5

 


Розв’язування. Запишемо матрицюD,складену із норм ви-трат сировини, палива та праці, а також матрицю-рядок P вартос-

  0 ,8 1,2  
тей цих показників. D = 1,5 , P =[6 4 1,5].
     

Запишемо також результати обчислень попередньої задачі:

    ,21 2,83 4 ,34  
X = , B 1 = ,08 5 ,85 8,3 ,
    ,77 5 ,09 9,81  

де X - матриця-стовпець плану валового випуску продукції;

B1 -матриця коефіцієнтів повних витрат.

 

1) Перемноживши матрицю D норм витрат сировини, палива та праці і матрицю-стовпець плану валового випуску продукції X , одержимо матрицю-стовпець сумарних витрат сировини, палива і трудових ресурсів:

 

0 ,8 1,2 0 ,8 ⋅ 821 + 1 ⋅ 1402 + 1,2 1577      
D ⋅ X = 1,5     = 3 ⋅ 821 + 1,5 1402 + 2 1577    
                8 ⋅ 821 + 5 ⋅ 1402 + 5 1577      
           
                         

3951 7720 .

 

 

Отже, для виконання програми виробництва потрібно витра-тити 3951 одиниць сировини, 7720 одиниць палива і 21463 робочих людино-годин.

 

2) Добуток матриці D норм витрат сировини, палива та праці

 

і матриці коефіцієнтів повних витрат B1 визначає матрицю коефіцієнтів прямих витрат сировини, палива та праці на одиницю продукції кожної галузі:

 

  0 ,8 1,2 ,21 2,83 4 ,34    
V = D ⋅ B 1 = 1,5   ,08 5 ,85 8,3   =
                       
      ,77 5 ,09 9,81    
                       

 


9 ,17 14 ,22 23 ,54  
= ,29 27 ,45 45 ,09 .
           
  ,93 77 ,34 125 ,27  
           

Тут елементи першого стовпця означають кількість витрат си-ровини, другого – палива і третього – робочих людино-годин, які потрібні для виготовлення одиниці продукції 1-ї, 2-ї і 3-ї галузей.

3) Добутки матриць-стовпців норм витрат сировини, палива та праці і планового випуску продукції виражають витрати сировини, палива та праці кожного із трьох галузей:

  0 ,8   656 ,8                
            ; П   1,5   1402     ;  
П1 =   821 = 2 =   = 2103    
                             
                       
  1,2   1892 ,4                
П3 =   1577 =   .                
                           
                                 

Таким чином, матриця повних витрат сировини, палива та праці по трьох галузях має вигляд:

656 ,8 1892 ,4  
     
П = .  
       
   

4) Перемноживши матрицю-рядок вартостей сировини, палива та праці на матрицю повних витрат цих показників одержимо мат-рицю-рядок вартостей витрат кожної із трьох галузей:

  656 ,8 1892 ,4    
P ⋅ П =[6 4 1,5 ] ⋅   =[14778 27339 35797 ,9].
             
       
             

Це означає, що вартість витрат першої галузі становить 14778 оди-ниць, другої – 27339 і третьої – 35797,9.

 

5) Добуток матриці-рядка вартостей P на матрицю прямих витрат V сировини, палива та праці дає внутрівиробничі витрати на кожну одиницю товарної продукції:

  9,17 14 ,22 23,54    
P ⋅ V =[6 4 1,5 ] ⋅ ,29 27 ,45 45 ,09   =[ 218,58 311,13 509 ,51].
               
    ,93 77 ,34 125 ,27    
               

 


Задача 3.Для виготовлення дитячих іграшок використову-ються відходи полотняних матеріалів 123) різних розмі-

 

рів. Обчислити кількість матеріалу, який витрачається при розкрої трьома способами, якщо кількість заготовок одержаних з кожного матеріалу, а також кількість необхідних заготовок представлена таблицею:

 

Вид заготовки Спосіб розкрою Кількість заготовок    
     
         
М1      
M2      
M3      
Розв’язування. Якщо x1 , x2 , x3 -кількість вихідного матеріалу  

 

( М1 , М2 , М3 ) ,який використовується для розкрою відповідно пе-

 

ршим, другим і третім способами, то для виконання поставленої ме-ти, потрібно розв'язати систему лінійних рівнянь:

 

x1 + 2 x2 + 3 x3 = 126 , 2 x1 + 3 x2 + 2 x3 = 134 ,

4 x1 + 3 x2 + 3 x3 = 189.

 

Розв’яжемо її методом Гаусса. Виключимо невідому величину x1 із другого і третього рівнянь.Для цього помножимо перше

 

рівняння на “-2”, “-4” і додамо відповідно до другого і третього рів-нянь:

x1 + 2 x2 + 3 x3 = 126 ,
  x2 + 4 x3 = 118,  
  5 x2 9 x3 =−315.  

Виключимо невідому x2 із третього рівняння. При цьому по-множимо друге рівняння на “5” і додамо до третього рівняння:

x1 + 2 x2 + 3 x3 = 126 ,  
  x2 + 4 x3 = 118,  
  11x3 = 275.  
   

Звідси, розв’язок системи лінійних рівнянь буде х1=15;х2=18;х3=25. Отже,при певних методах розкрою матеріалу,потрібно мати15 шт. матеріалу М1, 18 шт. матеріалу М2 і 25 шт. матеріалу М3


 


Задача 4.Для виготовлення чотирьох видів продукціїP1, P2, P3,P4 використовуються три види сировини S1, S2, S3.Норми витрат ізапаси сировини наведені в таблиці:

 

Сировина Витрати сировини на одини- Запаси сировини
  цю продукції      
  P1 P2 P3 P4  
S1
S2
S3

Визначити кількість продукції P1, P2, P3, P4, якщо ресурси по-вністю вичерпані.

 

Розв’язування. Позначимо черезx1, x2, x3, x4кількість одиницьпродукції P1, P2, P3, P4. Умову нашої задачі можна записати у вигля-ді системи лінійних рівнянь:

3 x1 + 2 x2 + 2 x3 + x4 = 14 ,
   
2 x1 + 5 x2 + 2 x3 + 3 x4 = 15 ,
x1 + 2 x2 + 2 x3 + 3 x4 = 10.

Розв’яжемо її методом Жордана-Гаусса в табличній формі. В якості першої таблиці запишемо коефіцієнти, які стоять біля неві-домих і стовпчик з вільних членів. Стовпець ( Σ ) є контрольним,

який представляє суму чисел відповідного рядка.              
  Таблиця x1   x2 x3 x4 bi            
                 
                 
  ×(-   2),(    
       
               
        -3)  
    -4 -4 -8 -16 -32            
               
    -2 -3 -5 -9 ×(-2),(4)  
                 
      ×(-1/12)  
      -

Читайте також:

  1. V. Економічні цикли.
  2. V. Економічні цикли.
  3. Агітація за і проти та деякі особливості її техніки.
  4. Адміністративні, економічні й інституційні методи.
  5. Акціонерна власність в економічній системі
  6. Алгоритм розв’язання задачі
  7. Алгоритм розв’язання розподільної задачі
  8. Алгоритм розв’язування задачі
  9. Алгоритм розв’язування задачі
  10. Алгоритм розв’язування задачі
  11. Алгоритм розв’язування задачі
  12. Алгоритм розв’язування задачі




Переглядів: 1083

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Довільні системи лінійних алгебраїчних рівнянь | Розділ 2. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ І ЕЛЕМЕНТИ ВЕКТОРНОЇ АЛГЕБРИ

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

  

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.037 сек.