МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах
РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ" ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів
Контакти
Тлумачний словник Авто Автоматизація Архітектура Астрономія Аудит Біологія Будівництво Бухгалтерія Винахідництво Виробництво Військова справа Генетика Географія Геологія Господарство Держава Дім Екологія Економетрика Економіка Електроніка Журналістика та ЗМІ Зв'язок Іноземні мови Інформатика Історія Комп'ютери Креслення Кулінарія Культура Лексикологія Література Логіка Маркетинг Математика Машинобудування Медицина Менеджмент Метали і Зварювання Механіка Мистецтво Музика Населення Освіта Охорона безпеки життя Охорона Праці Педагогіка Політика Право Програмування Промисловість Психологія Радіо Регилия Соціологія Спорт Стандартизація Технології Торгівля Туризм Фізика Фізіологія Філософія Фінанси Хімія Юриспунденкция |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Довільні системи лінійних алгебраїчних рівнянь
Розглянемо систему m лінійних рівнянь з n невідомими (1.3).
ТЕОРЕМА Кронекера-Капеллі. Система m лінійних рів-нянь з n невідомими має розв’язок, тобто сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг основної матриці (r(A)) дорівнює рангу розшире- ~ ної матриці ( r( A )).
на і має розв’язок, який знаходиться за одним із методів, розгляну-тих в попередніх параграфах.
сумісна і має безліч розв’язків. Базисним міноромматриці називається відмінний від нулямінор, порядок якого рівний рангу матриці. Допустимо, що
= ~ = Для знаходження розв язків системи візьмемо r( A ) r( A ) r r ’ .
рівнянь, в яких коефіцієнти при невідомих утворюють базисний мі-нор. Інші рівняння відкидаємо. Невідомі, коефіцієнти при яких утворюють базисний мінор, називають основними (або базисними) і залишають зліва. Інші ( n − r ) невідомі називають вільними і пе-
реносять в праві частини рівнянь. Надаючи довільних числових зна-чень вільним невідомим, знаходимо відповідні значення основних невідомих. Приклад 1.Дослідити на сумісність систему рівнянь
до вертикальної лінії розміщені елементи основної матриці. Тому всі елементарні перетворення, які будемо виконувати над матрицею ~ A ,мають місце і для матриці A :
~ Значить, ранг розширеної матриці A рівний 3, а ранг основної
матриці A - 2. За теоремою Кронекера-Капеллі система лінійних рівнянь несумісна.
Приклад 2.Дослідити на сумісність систему лінійних рівняньі розв’язати її, якщо вона сумісна:
Розв’язування. Складемо розширену матрицю системи і вико-наємо елементарні перетворення.
Значить r(A)=r(Ã)=3, оскільки найвищий порядок мінора як матриці А так і матриці Ã, дорівнює 3. За теоремою Кронекера-Капеллі вихідна система лінійних рівнянь має розв’язок, причому єдиний, так як кількість невідомих теж дорівнює 3.
Це означає, що два рівняння системи можна відкинути. Запи-шемо ті три рівняння, визначник із коефіцієнтів, які стоять біля невідомих, відмінний від нуля, наприклад
клад, за методом Крамера. Для цього обчислимо j( j = 1,2,3 ) , які
одержуються з визначника системи , шляхом заміни стовпців із коефіцієнтів, які стоять біля невідомих x1, x2, x3, стовпцем із віль- них членів:
Розв’язок вихідної системи такий:
Приклад 3.Дослідити на сумісність і розв’язати систему рів- нянь:
Розв’язування. З допомогою елементарних перетворень зведе-мо до діагонального вигляду матрицю
Як бачимо r(A)=r(Ã)=2. Це означає, що система лінійних рів-нянь сумісна і має безліч розв’язків (оскільки ранг менший, ніж кі-лькість невідомих).За базисний мінор візьмемо мінор 2-го порядку
В даному випадку за основні невідомі приймемо х1,х2. Невідомі х3 та х4 будуть вільними. Задана система еквівалентна такій:
x1 =
+ 2 11
x2 =
− 7 11
x4 + 2 . 11 Отже, загальний розв’язок вихідної системи такий:
Надаючи вільним невідомим х3,х4 довільних значень, одер-жимо відповідні значення базисних невідомих х1,х2.
Наприклад, один із часткових розв’язків розглянутої системи
Зауваження. При знаходженні рангівr(A)іr(Ã)зручно корис-туватись методом окантування мінора. При цьому одночасно знахо-димо і базисний мінор.
Системи m лінійних рівнянь з n невідомими можна розв’язувати методом Жордана-Гаусса.
Приклад 4.Дослідити на сумісність і розв’язати методомЖордана-Гаусса систему лінійних рівнянь:
|
|
Генерація сторінки за: 0.036 сек. |