Верхня і нижня грані дійсних чисел

Нехай дано непорожню множину X дійсних чисел ( X ⊂ R ). Множина X називається обмеженою зверху(знизу),якщо

існує дійсне число α таке, що для всіх x є X правильна нерівність x ≤ α( x ≥ α ) .

Число α при цьому називається верхньою (нижньою) межею множини X . Зрозуміло, що коли α -верхня (нижня) межа множини X ,то будь-яке числоβ>α ( β<α ) також буде верхньою(ниж-

ньою) межею.

Означення4. Найменша верхня межа непорожньої обме-женої зверху множини X дійсних чисел називається точною верхньою межею або верхньою гранню цієї множини і познача-ється sup {X }.

Означення5. Найбільша нижня межа непорожньої обме-женої знизу множини дійсних чисел X називається точною нижньою межею або нижньою гранню цієї множини і познача-ється inf {X } .

то sup {X

₁}=1,

Наприклад, якщо

X₁ = 1,

,...,

,... ,

inf {X ₁}=0.

Тут верхня грань, яка дорівнює 1,

належить множині

X₁ , а

нижня грань, яка дорівнює 0, множині

X₁ не належить.Коли у

множині X є найбільше (найменше)

число

x₀ ,

тобто таке число

x₀ ∈ X ,що будь-яке число x ∈ X задовольняє нерівність x ≤ x₀

( x ≥ x₀ ) ,то це число x₀ й буде верхньою(нижньою)гранню мно-

жини X . Однак не в усякій непорожній обмеженій зверху (знизу) множині дійсних чисел є найбільше (найменше ) число. Наприклад,


у розглянутій вище множині	X₁	= 1,	,	,...,	,...	є найбільше чи-
		n

сло, але немає найменшого, а у множині X₂ = (a ,b) немає ні най-

меншого, ні найбільшого числа.

Сформулюємо без доведення наступне твердження.

ТЕОРЕМА 1. У будь-якої непорожньої обмеженої зверху (знизу) множини X дійсних чисел існує верхня (нижня) грань.

Надалі нам доведеться часто користуватися наступними двома

властивостями sup { X } і inf { X } .
Властивість 1	. Якщо	X	-	непорожня	обмежена	зверху
множина дійсних	чисел	і	α= sup{ X },то	для	будь-якого
x ∈ X правильна нерівність	x ≤ αі для будь-якого числаε> 0 іс-
нує число x_ε ∈ X таке, що x_ε	>α − ε .		(	Х	α-ε	х_ε	α
Властивість 2
. Якщо		X -непорожня обмежена знизу мно-
жина дійсних чисел і β = inf {X }, то
1) для будь-якого x ∈ X правильна нерівність x ≥ β ;
2) для будь-якого числа					х_ε			Х	)
ε> 0 існує число x_ε∈ X таке,що	β			β+ε

x_ε<β+ε .

Зазначимо, що коли множина дійсних чисел необмежена звер-ху (знизу), то за означенням sup{X }= + (іnf {X }= −∞ ).

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Властивості абсолютної величини, зв’язаної з нерівно-стями величин. Окіл точки	\|	Класифікація функцій

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.002 сек.