Нехай дано непорожню множину X дійсних чисел ( X ⊂ R ). Множина X називається обмеженою зверху(знизу),якщо
існує дійсне число α таке, що для всіх x є X правильна нерівність x ≤ α( x ≥ α ) .
Число α при цьому називається верхньою (нижньою) межею множини X . Зрозуміло, що коли α -верхня (нижня) межа множини X ,то будь-яке числоβ>α ( β<α ) також буде верхньою(ниж-
ньою) межею.
Означення4. Найменша верхня межа непорожньої обме-женої зверху множини X дійсних чисел називається точною верхньою межею або верхньою гранню цієї множини і познача-ється sup {X }.
Означення5. Найбільша нижня межа непорожньої обме-женої знизу множини дійсних чисел X називається точною нижньою межею або нижньою гранню цієї множини і познача-ється inf {X } .
то sup {X
1}=1,
Наприклад, якщо
X1 = 1,
,
,...,
,... ,
n
inf {X 1}=0.
Тут верхня грань, яка дорівнює 1,
належить множині
X1 , а
нижня грань, яка дорівнює 0, множині
X1 не належить.Коли у
множині X є найбільше (найменше)
число
x0 ,
тобто таке число
x0 ∈ X ,що будь-яке число x ∈ X задовольняє нерівність x ≤ x0
( x ≥ x0 ) ,то це число x0 й буде верхньою(нижньою)гранню мно-
жини X . Однак не в усякій непорожній обмеженій зверху (знизу) множині дійсних чисел є найбільше (найменше ) число. Наприклад,
у розглянутій вище множині
X1
= 1,
,
,...,
,...
є найбільше чи-
n
сло, але немає найменшого, а у множині X2 = (a ,b) немає ні най-
меншого, ні найбільшого числа.
Сформулюємо без доведення наступне твердження.
ТЕОРЕМА 1. У будь-якої непорожньої обмеженої зверху (знизу) множини X дійсних чисел існує верхня (нижня) грань.
Надалі нам доведеться часто користуватися наступними двома
властивостями sup { X } і inf { X } .
Властивість 1
. Якщо
X
-
непорожня
обмежена
зверху
множина дійсних
чисел
і
α= sup{ X },то
для
будь-якого
x ∈ X правильна нерівність
x ≤ αі для будь-якого числаε> 0 іс-
нує число xε ∈ X таке, що xε
>α − ε .
(
Х
α-ε
хε
α
Властивість 2
. Якщо
X -непорожня обмежена знизу мно-
жина дійсних чисел і β = inf {X }, то
1) для будь-якого x ∈ X правильна нерівність x ≥ β ;
2) для будь-якого числа
хε
Х
)
ε> 0 існує число xε∈ X таке,що
β
β+ε
xε<β+ε .
Зазначимо, що коли множина дійсних чисел необмежена звер-ху (знизу), то за означенням sup{X }= + (іnf {X }= −∞ ).