Верхня і нижня грані дійсних чисел

Нехай дано непорожню множину X дійсних чисел ( X ⊂ R ). Множина X називається обмеженою зверху(знизу),якщо

існує дійсне число α таке, що для всіх x є X правильна нерівність x ≤ α( x ≥ α ) .

Число α при цьому називається верхньою (нижньою) межею множини X . Зрозуміло, що коли α -верхня (нижня) межа множини X ,то будь-яке числоβ>α ( β<α ) також буде верхньою(ниж-

ньою) межею.

Означення4. Найменша верхня межа непорожньої обме-женої зверху множини X дійсних чисел називається точною верхньою межею або верхньою гранню цієї множини і познача-ється sup {X }.

Означення5. Найбільша нижня межа непорожньої обме-женої знизу множини дійсних чисел X називається точною нижньою межею або нижньою гранню цієї множини і познача-ється inf {X } .

то sup {X ₁}=1,

Наприклад, якщо X₁ = 1, , ,..., ,... ,

n

inf {X ₁}=0.

Тут верхня грань, яка дорівнює 1, належить множині X₁ , а

нижня грань, яка дорівнює 0, множині X₁ не належить.Коли у

множині X є найбільше (найменше) число x₀ , тобто таке число

x₀ ∈ X ,що будь-яке число x ∈ X задовольняє нерівність x ≤ x₀

( x ≥ x₀ ) ,то це число x₀ й буде верхньою(нижньою)гранню мно-

жини X . Однак не в усякій непорожній обмеженій зверху (знизу) множині дійсних чисел є найбільше (найменше ) число. Наприклад,


у розглянутій вище множині	X₁	= 1,	,	,...,	,...	є найбільше чи-
		n

сло, але немає найменшого, а у множині X₂ = (a ,b) немає ні най-

меншого, ні найбільшого числа.

Сформулюємо без доведення наступне твердження.

ТЕОРЕМА 1. У будь-якої непорожньої обмеженої зверху (знизу) множини X дійсних чисел існує верхня (нижня) грань.

Надалі нам доведеться часто користуватися наступними двома

властивостями sup { X } і inf { X } .
Властивість 1	. Якщо	X	-	непорожня	обмежена	зверху
множина дійсних	чисел	і	α= sup{ X },то	для	будь-якого
x ∈ X правильна нерівність	x ≤ αі для будь-якого числаε> 0 іс-
нує число x_ε ∈ X таке, що x_ε	>α − ε .		(	Х	α-ε	х_ε	α
Властивість 2
. Якщо		X -непорожня обмежена знизу мно-
жина дійсних чисел і β = inf {X }, то
1) для будь-якого x ∈ X правильна нерівність x ≥ β ;
2) для будь-якого числа					х_ε			Х	)
ε> 0 існує число x_ε∈ X таке,що	β			β+ε

x_ε<β+ε .

Зазначимо, що коли множина дійсних чисел необмежена звер-ху (знизу), то за означенням sup{X }= + (іnf {X }= −∞ ).

Читайте також:
N – чисельність популяції
Аксіома неперервності дійсних чисел
Алгоритми переведення чисел з однієї позиційної системи числення в іншу
Аналіз чисельності, складу і руху персоналу
Введення чисел.
Види недійсних правочинів та їх правові наслідки
Визначення добутку на множині цілих невід’ємних чисел, його існування та єдиність. Операція множення та її основні властивості (закони).
Визначення суми на множині цілих невід’ємних чисел, її існування та єдиність. Операція додавання та її основні властивості (закони).
Визначення чисел зуб’їв коліс усіх передач коробки швидкостей.
Визначення чисельності окремих категорій працівників
Визначення чисельності окремих категорій працівників

Переглядів: 1506

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>

Властивості абсолютної величини, зв’язаної з нерівно-стями величин. Окіл точки | Класифікація функцій

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.005 сек.