Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Нескінчено малу функцію в точці ще називають нескінче-но малою величиною.

Приклад 1.Нехайy=( 1x )n.Тодіlim( 1x )n=0.

x 1

 

Отже, функція y = ( 1x )n в точці x = 1 є нескінчено малою.

Приклад 2.Нехайy=sin x.Тодіlim sin x=0.Отже,задана

 

x0

функція y = sin x в точці x = 0 є нескінченно малою.

Якщо x0 - внутрішня точка інтервалу (а,b) , то, використа-

 

вши означення границі функції в точці, нескінчену малу функцію можна означити так.

Означення2. Функція y = f ( x ) називається нескінчено ма-лою в точці x0 , якщо для будь-якого числа ε> 0 існує число δ> 0 таке, що для всіх x (а ,b) x x0 , які задовольняють нері-вність x x0 , виконується нерівність f ( x ) .

Аналогічно можна означити нескінчено малу функцію на не-скінченості.

 

Означення3. Функція y = f ( x ) називається нескінченно малою на нескінченності ( x → ∞ ), якщо для будь-якого числа ε> 0 існує таке число M > 0 , що для всіх x , які задовольняють нерівність x > M , виконується нерівність f ( x ) .

Приклад 3. Розглянемо функцію y = . Тоді lim = 0.  
x2    
            x → ∞ x2    
Отже, функція y = на нескінченності ( x → ∞ ) є нескінчено ма-  
  x2  
                   

лою.

Нескінченно малі функції аналогічно до нескінчено малих чи-слових послідовностей володіють аналогічними властивостями.

 

Примітка 1. Іноді доводиться розглядати не одну,а кілька не-скінченно малих функцій у даній точці. Такі функції порівнюють між собою за допомогою границі їх відношення, і залежно від того як поводить себе таке відношення поблизу даної точки, нескінченно малим величинам дають певну назву.

Подамо ряд означень.

Нехай α( x ) і β( x ) є нескінченно малі функції в точці


 


x0 ∈(а ,b)( x0 може бути і нескінченно віддаленою точкою).

Означення4. Якщо lim α( x ) = 0 , то α( x ) називається
x → x0 β( x )

нескінченно малою вищого порядку малості, ніж β( x ) . При цьо-му β( x ) називається нескінченно малою нижчого порядку мало-сті, ніж α( x ) .

 

Приклад 4.Нехайα( x )=( x1 )2( x )=x1.Тодіα( x )

і β( x ) в точці x = 1 є нескінченно малі функції. Знайдемо

lim α( x ) = lim( x 1 ) = 0.                              
x→1 β( x ) x1                                          
Отже, в цьому випадку α( x ) є нескінчено мала вищого по-  
рядку, ніж β( x ) .                                            
Приклад 5. Нехайα( x )=                      
        , β( x ) =   .        
    x3 + 1 x2 + 1      
Тоді lim α( x ) = 0 , lim β( x ) = 0 ,                    
  x → ∞       x→∞                                  
тобто α( x ) і β( x ) на нескінченності є нескінченно малі функції.  
Знайдемо lim α( x ) = lim x2 + 1 = 0.                      
β( x )                            
  x → ∞   x → ∞ x3 +                                
Отже, функція α( x ) =         є нескінченно мала вищого по-  
x 3 + 1  
                                       
рядку, ніж β( x ) =     при x → ∞ або, що те саме, β( x ) =      
x 2 + 1 x3 + 1    
                                         
є нескінчено мала нищого порядку, ніж α( x ) =   при x → ∞ .  
  x3 + 1  
                  α( x ) = C ,                
Означення5. Якщо lim де С- відмінне від нуля  
              x x0 β( x )                    
число, то α( x ) іβ( x ) в точці x0 називаються нескінчено ма-  
лими однакового порядку малості.                    
Якщо при цьому С = 1 , то α( x ) і β( x ) в точці x0 назива-  
ються еквівалентними і записують α( x ) ~ β( x ) (при xx0 ).      

 

 


Приклад 6.Нехайα( x )=tgx,аβ( x )=x.Тодіα( x )іβ( x )

 

в точці x = 0 є нескінченно малі функції. Оскільки

 

lim tgx = lim( sin x   ) = 1, то tgx ~ x (при x 0 ) .  
       
x →0 x   x →0   x   cos x  
Означення6. Якщо α( x ) і β( x ) є нескінченно малі функції  
в точці x0 і   lim   α( x ) = C ,де k - довільне число, а число C 0 ,  
             
    x → x0 ( β( x ))k        
                         

то функція α( x ) називається нескінченно малою порядку k по відношенню до β( x ) .

 

Приклад 7.Нехайα( x )=1сosx , аβ( x )=x.Оскільки

 

  α( x )   1 − cos x   2 sin x     sin   x     sin   x        
lim = lim = lim     = lim     == 0 ,  
                   
                x       x        
x →0 ( β( x ))2 x →0x2 x →0x2     x →0 2 ⋅                
                                         
                                           
                                                   

то функція α( x ) = 1сosx у точці x = 0 є нескінченно малою дру-

 

гого порядкупо відношенню доx.

 


Читайте також:

  1. I. Органи і системи, що забезпечують функцію виділення
  2. Але відмінні від значення функції в точці або значення не існує, то точка називається точкою усувного розриву функції .
  3. Алкени – вуглеводні, в молекулах яких є один подвійний зв’язок між атомами вуглецю . Алкені називають також олефінами або етиленовими вуглеводнями.
  4. Алкіни – вуглеводні, в молекулах яких є два атоми вуглецю, сполучені потрійним зв’язком - -. Алкіни називають також ацетиленовими вуглеводнями.
  5. Бюджетні установи отримують кошти на своє функціонування з бюджету виключно на основі фінансових документів, які називаються кошторисами.
  6. Вади розвитку – це порушення внутрішньоутробного розвитку, відхилення від нормальної будови організму. Найлегші ступені вад розвитку називають аномаліями, найважчі – потворністю.
  7. Визначення. Матриці, отримані в результаті елементарного перетворення, називаються еквівалентними.
  8. Визначення. Точки максимуму й мінімуму функції називаються точками екстремуму.
  9. Визначення. Числа й називаються комплексно спряженими.
  10. Визначення: Площина, що проходить через дотичну й головну нормаль до кривої в точці А називається дотичною площиною.
  11. Винесення внутрішніх, розумових дій назовні називають ексте­ріоризацією.
  12. Витрати одного блага, виражені в кількості іншого блага, яким довелося знехтувати (пожертвувати) називаються альтернативними витратами.




Переглядів: 438

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Порівняння нескінчено малих величин | 

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

  

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.004 сек.