РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання
ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"
ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ
Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків
Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні
Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах
Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами
ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ
ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів
- Гідрологія і Гідрометрія
- Господарське право
- Економіка будівництва
- Економіка природокористування
- Економічна теорія
- Земельне право
- Історія України
- Кримінально виконавче право
- Медична радіологія
- Методи аналізу
- Міжнародне приватне право
- Міжнародний маркетинг
- Основи екології
- Предмет Політологія
- Соціальне страхування
- Технічні засоби організації дорожнього руху
- Товарознавство продовольчих товарів
Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция
Лагранжа.
Формула Маклорена
Взявши у формулі Тейлора a = 0 , одержимо формулу Мак-лорена
| f ( x ) = f ( 0 ) + | f ′( 0 ) | x + | f ′′( 0 ) | x2 + ...+ | f ( n )( 0 ) | xn + R ( x ), | ||||||
| 1! | 2! | n! | n | |||||||||
| де | R ( x ) = | f ( n+ 1 )( θx ) | xn+ 1 | , деθчисло 0 <θ< 1. | ||||||||
| n | ( n + 1 )! | |||||||||||
Ця формула найчастіше використовується для зображення функцій.
Приклад.Знайти формулу Маклорена для функціїf ( x ) = sin x , взявши n = 8 .
Розв’язування: Обчислимо
f ( x ) = sin x ,f ( 0 ) = 0;
f ′( x ) = cos x ,f ′( 0 ) = 1;
f ′′( x ) =− sin x ,f ′′( 0 ) = 0;
f ′′′( x ) =− cos x ,f ′′′( 0 ) =−1;
f IV ( x ) = sin x ,f IV ( 0 ) = 0 .
Зауваживши, що значення похідних дальше повторюються,
| x | x | x7 | cos | |||||||||||||
| x | ||||||||||||||||
| одержимо | sin x = x − | + | − | + | x | . | ||||||||||
| 3! | 5! | 7! | 9! | |||||||||||||
Враховуючи, що величина залишкового члена досить мала, можемо написати наближену формулу
| x3 | x5 | x7 | |||||
| sin x ≈ x − | + | − | . | ||||
| 3! | 5! | 7! | |||||
Обчислюючи синус якого-небудь кута, вираженого в граду-сах, треба спочатку перетворити їх в радіани і тоді підставляти у формулу. Приклади на використання подібних формул буде показа-но в іншому розділі.
Зростання і спадання функції на проміжку
Означення1. Функція f ( x ) називається зростаючою на проміжку (a ,b), якщо більшому значенню аргументу х відповідає
більше значення функції. Тобто, якщо x1 < x2 , то
f ( x1 ) < f ( x2 ).
Якщо нерівність виконується нестрога, f ( x1 ) ≤ f ( x2 ), то
Функція називається неспадною.
Означення2. Функція f ( x ) називається спадною на про-міжку (a ,b), якщо більшому значенню аргументу х відповідає менше значення функції. Тобто, якщо x1 < x2 , то
f ( x1 ) > f ( x2 ).
Якщо нерівність виконується нестрого, f ( x1 ) ≥ f ( x2 ), то
функція називається незростаючою.
Необхідна умова зростання та спадання функцій
ТЕОРЕМА. Якщо диференційована функція на проміжку(a ,b)зростає,то її похідна невід’ємна,а якщо спадає,то її похід-
На недодатна.
| Доведення. | Якщо функція y = f ( x ) зростає, | то з означення | ||||||
| прирости | x і | y будуть однакових знаків.Тому відношення | ||||||
| y | > 0. А | lim | y | = f ' ( x ) ≥ 0. | ||||
| x | x→0 | x | ||||||
| У випадку, коли функція y = f ( x ) спадає, прирости x і | ||||||||
| y різних знаків,їх відношення від’ємне,а похідна | f ' ( x ) ≤ 0. |
14.2Достатні умови зростання і спадання функції ТЕОРЕМА.Якщо неперервна на замкненому проміжку
[а ,b]функція f ( x ) має всередині цього проміжку додатну по-
Хідну, то функція зростає, а якщо від’ємну, то функція спадає.
| Доведення. Нехай | f ' ( x ) > 0 при a < x < b. Візьмемо дві точ- | ||
| ки x1 та x2( x1 < x2) | з проміжку (a ,b), | і застосуємо до функції | |
| f(x) теорему Лагранжа.Одержимо | |||
| f ( x2 ) − f ( x1 ) = ( x2 − x1 ) f ' ( c ). | |||
| Оскільки | x2 − x1 > 0 , f ' ( c ) > 0 за умовою теореми,то цей | ||
| добуток також | більший нуля, а тому | f ( x2 ) − f ( x1 ) > 0 , або | |
f ( x2 ) > f ( x1 ). Це означає,що функція f ( x ) зростає.
Аналогічно доводиться друга частина теореми.
Читайте також:
- Інтерполяційна формула Лагранжа.
- Метод множників Лагранжа. Економічний зміст множників Лагранжа
- Наслідки з теореми Лагранжа.
| <== попередня сторінка | | | наступна сторінка ==> |
| Формула Тейлора для довільної функції | | | Проміжки зростання і спадання функцій називаються проміжками монотонності функцій. |
|
Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google: |
© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове. |