Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Лагранжа.

 

Формула Маклорена

 

Взявши у формулі Тейлора a = 0 , одержимо формулу Мак-лорена

    f ( x ) = f ( 0 ) + f ′( 0 ) x + f ′′( 0 ) x2 + ...+ f ( n )( 0 ) xn + R ( x ),  
             
    1!   2!   n! n  
           
де R ( x ) = f ( n+ 1 )( θx ) xn+ 1 , деθчисло 0 <θ< 1.    
     
  n   ( n + 1 )!            
                 
                         

Ця формула найчастіше використовується для зображення функцій.

 

Приклад.Знайти формулу Маклорена для функціїf ( x ) = sin x , взявши n = 8 .

 

Розв’язування: Обчислимо

 

f ( x ) = sin x ,f ( 0 ) = 0;


 


f( x ) = cos x ,f( 0 ) = 1;

 

f ′′( x ) =− sin x ,f ′′( 0 ) = 0;

 

f ′′′( x ) =− cos x ,f ′′′( 0 ) =−1;

 

f IV ( x ) = sin x ,f IV ( 0 ) = 0 .

Зауваживши, що значення похідних дальше повторюються,

    x   x   x7 cos            
        x        
одержимо sin x = x     +       +       x   .  
3! 5! 7! 9!        
                     

Враховуючи, що величина залишкового члена досить мала, можемо написати наближену формулу

  x3 x5 x7  
sin x ≈ x   +     .  
3! 5! 7!  
         

Обчислюючи синус якого-небудь кута, вираженого в граду-сах, треба спочатку перетворити їх в радіани і тоді підставляти у формулу. Приклади на використання подібних формул буде показа-но в іншому розділі.

 

Зростання і спадання функції на проміжку

 

Означення1. Функція f ( x ) називається зростаючою на проміжку (a ,b), якщо більшому значенню аргументу х відповідає

 

більше значення функції. Тобто, якщо x1 < x2 , то

f ( x1 ) < f ( x2 ).

Якщо нерівність виконується нестрога, f ( x1 ) f ( x2 ), то

 

Функція називається неспадною.

 

Означення2. Функція f ( x ) називається спадною на про-міжку (a ,b), якщо більшому значенню аргументу х відповідає менше значення функції. Тобто, якщо x1 < x2 , то

f ( x1 ) > f ( x2 ).

 

Якщо нерівність виконується нестрого, f ( x1 ) f ( x2 ), то

 

функція називається незростаючою.

 

Необхідна умова зростання та спадання функцій


 


ТЕОРЕМА. Якщо диференційована функція на проміжку(a ,b)зростає,то її похідна невід’ємна,а якщо спадає,то її похід-

На недодатна.

 

    Доведення. Якщо функція y = f ( x ) зростає, то з означення  
прирости x і y будуть однакових знаків.Тому відношення  
  y > 0. А lim   y = f ' ( x ) 0.    
           
  x x→0 x    
    У випадку, коли функція y = f ( x ) спадає, прирости x і  
  y різних знаків,їх відношення від’ємне,а похідна f ' ( x ) ≤ 0.  

 

14.2Достатні умови зростання і спадання функції ТЕОРЕМА.Якщо неперервна на замкненому проміжку

[а ,b]функція f ( x ) має всередині цього проміжку додатну по-

Хідну, то функція зростає, а якщо від’ємну, то функція спадає.

Доведення. Нехай f ' ( x ) > 0 при a < x < b. Візьмемо дві точ-
ки x1 та x2( x1 < x2) з проміжку (a ,b), і застосуємо до функції
f(x) теорему Лагранжа.Одержимо  
f ( x2 ) − f ( x1 ) = ( x2 x1 ) f ' ( c ).  
Оскільки x2 x1 > 0 , f ' ( c ) > 0 за умовою теореми,то цей
добуток також більший нуля, а тому f ( x2 ) − f ( x1 ) > 0 , або
       

f ( x2 ) > f ( x1 ). Це означає,що функція f ( x ) зростає.

Аналогічно доводиться друга частина теореми.

 


Читайте також:

  1. Інтерполяційна формула Лагранжа.
  2. Метод множників Лагранжа. Економічний зміст множників Лагранжа
  3. Наслідки з теореми Лагранжа.




Переглядів: 486

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Формула Тейлора для довільної функції | Проміжки зростання і спадання функцій називаються проміжками монотонності функцій.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

  

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.009 сек.