Новини освіти і науки:

G+

Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Лагранжа.

Формула Маклорена

Взявши у формулі Тейлора a = 0 , одержимо формулу Мак-лорена

f ( x ) = f ( 0 ) +

f ′( 0 )

x +

f ′′( 0 )

x² + ...+

f ^{( n )}( 0 )

xⁿ + R ( x ),

де

R ( x ) =

f ^{( n}⁺ ^{1 )}( θx )

_xn+ 1

, деθчисло 0 <θ< 1.

( n + 1 )!

Ця формула найчастіше використовується для зображення функцій.

Приклад.Знайти формулу Маклорена для функціїf ( x ) = sin x , взявши n = 8 .

Розв’язування: Обчислимо

f ( x ) = sin x ,f ( 0 ) = 0;

f ′( x ) = cos x ,f ′( 0 ) = 1;

f ′′( x ) =− sin x ,f ′′( 0 ) = 0;

f ′′′( x ) =− cos x ,f ′′′( 0 ) =−1;

f ^IV ( x ) = sin x ,f ^IV ( 0 ) = 0 .

Зауваживши, що значення похідних дальше повторюються,

_x7

cos

одержимо

sin x = x −

−

Враховуючи, що величина залишкового члена досить мала, можемо написати наближену формулу

	_x3	_x5	_x7
sin x ≈ x −		+		−	.
3!	5!	7!

Обчислюючи синус якого-небудь кута, вираженого в граду-сах, треба спочатку перетворити їх в радіани і тоді підставляти у формулу. Приклади на використання подібних формул буде показа-но в іншому розділі.

Зростання і спадання функції на проміжку

Означення1. Функція f ( x ) називається зростаючою на проміжку (a ,b), якщо більшому значенню аргументу х відповідає

більше значення функції. Тобто, якщо x₁ < x₂ , то

f ( x₁ ) < f ( x₂ ).

Якщо нерівність виконується нестрога, f ( x₁ ) ≤ f ( x₂ ), то

Функція називається неспадною.

Означення2. Функція f ( x ) називається спадною на про-міжку (a ,b), якщо більшому значенню аргументу х відповідає менше значення функції. Тобто, якщо x₁ < x₂ , то

f ( x₁ ) > f ( x₂ ).

Якщо нерівність виконується нестрого, f ( x₁ ) ≥ f ( x₂ ), то

функція називається незростаючою.

Необхідна умова зростання та спадання функцій

ТЕОРЕМА. Якщо диференційована функція на проміжку(a ,b)зростає,то її похідна невід’ємна,а якщо спадає,то її похід-

На недодатна.

		Доведення.	Якщо функція y = f ( x ) зростає,	то з означення
прирости	x і	y будуть однакових знаків.Тому відношення
	y	> 0. А	lim		y	= f ' ( x ) ≥ 0.

	x	x→0	x
		У випадку, коли функція y = f ( x ) спадає, прирости x і
	y різних знаків,їх відношення від’ємне,а похідна	f ' ( x ) ≤ 0.

14.2Достатні умови зростання і спадання функції ТЕОРЕМА.Якщо неперервна на замкненому проміжку

[а ,b]функція f ( x ) має всередині цього проміжку додатну по-

Хідну, то функція зростає, а якщо від’ємну, то функція спадає.

Доведення. Нехай	f ' ( x ) > 0 при a < x < b. Візьмемо дві точ-
ки x₁ та x₂( x₁ < x₂)	з проміжку (a ,b),	і застосуємо до функції
f(x) теорему Лагранжа.Одержимо
f ( x₂ ) − f ( x₁ ) = ( x₂ − x₁ ) f ' ( c ).
Оскільки	x₂ − x₁ > 0 , f ' ( c ) > 0 за умовою теореми,то цей
добуток також	більший нуля, а тому	f ( x₂ ) − f ( x₁ ) > 0 , або

f ( x₂ ) > f ( x₁ ). Це означає,що функція f ( x ) зростає.

Аналогічно доводиться друга частина теореми.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Формула Тейлора для довільної функції	\|	Проміжки зростання і спадання функцій називаються проміжками монотонності функцій.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.007 сек.