Формула Тейлора для довільної функції

Нехай f ( x ) − будь-яка функція, неперервна, що має непере-рвні похідні всіх порядків на проміжку ( α ,β ). Візьмемо яке- небудь

a з цього проміжку та будь-яке натуральне число	n і складемо
многочлен
	f ′( a )		f ′′( a )		f	^{( n )}( a )
T ( x ) = f ( a ) +		( x	− a ) +		( x − a )²	+ ...+		( x − a )ⁿ ,

n	1!			2!			n!

який будемо називати тейлоровським многочленом нашої функції.

Вважаємо, що f ( x ) не може дорівнює T_n( x ). Проте досить часто різниця між ними виявляється малою. Позначимо її R_n( x ). Одержимо f ( x ) = T_n( x ) + R_n( x ).Доведено, що R_n( x ) можна

		( x ) =	_f ( n+ 1 ) ₍	)	( x − a )ⁿ⁺ ¹ ,
виразити формулою R_n	x

			( n + 1 )!
де x проміжна точка між a і x. Ця формула задає залишковий

член R_n(x) в формі Лагранжа. Доведення її виходить за рамки нашо-го курсу і тому не приводиться.

Отже, для довільної функції маємо формулу

f ( x ) = f ( a ) + ^f ^′^{( a )} ( x − a ) + ^f ^′′^{( a )} ( x − a )² + ...+

		1!	_f ( n+ 1 ) ₍	)	2!
+	f ^{( n )} ( a )	( x − a )ⁿ +	x	( x − a )ⁿ⁺ ¹ ,
n!	( n + 1 )!

яка називається формулою Тейлора з залишковим членом у формі

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Формула Тейлора для многочлена	\|	Лагранжа.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.004 сек.