Асимптоти графіка функції

При дослідженні функцій часто буває, що графіки їх як за-вгодно близько наближаються до цієї чи іншої прямої. З такими лі-ніями ви зустрічалися при вивченні гіперболи.

Означення1. Пряму лінію називають асимптотою графіка функції y = f ( x ), якщо відстань точки M графіка від цієї прямої

прямує до нуля при віддаленні точки M в нескінченість.

Асимптоти бувають вертикальними, похилими і горизонталь-ними.Вертикальні асимптоти існують тоді, коли функція має розри-ви другого роду.

	Означення2. Якщо в точці x = x₀ хоч одна з
односторонніх границь	lim f ( x ) =∞ або	lim f ( x ) =∞ , то
				x→ x₀ +0	x→ x₀ −0
пряма x = x₀ є вертикальною асимптотою.	y
	Наприклад, для функції y =			.

						x
lim y = lim		= −∞і	lim y = lim		=∞.
x→0−0	x→0−0 _x	x→0+0	x→0+0 x	0	x
Отже,	x = 0 -вертикальна асимптота(мал.17).
	Означення3. Якщо існує скінчена
границя lim y = b, то пряма y = b		Мал.1
	x→±

називається горизонтальною асимптотою.

Оскільки для функції y = маємо lim y = lim = 0 , то пря-

x x→∞ x→∞ x

ма y = 0 -горизонтальна асимптота.

Рівняння похилої асимптоти шукають у вигляді прямої з куто-

вим коефіцієнтом y = kx + b. Відстань точки M ( x , y ) графіка фун-

кції y = f ( x ) приблизно можна виразити через різницю ординат

при одному і тому значенні x : d = f ( x ) − ( kx + b ).

За означенням асимптоти d → 0 при x → ±∞ , тобто

lim [ f ( x ) − kx − b]= 0 . (4.9)

x→±

Розділивши цю рівність на x ,маємо

f ( x ) b

lim − k − = 0.

x→± x ^x

Оскільки lim b = 0 , то k = lim f ( x ) . (4.10)

x→± x x→± x

Якщо границя (4.10) не існує, то похилої асимптоти не буде. Якщо k скінчене число, то з (4.9) знайдемо

b = lim [ f ( x ) − kx].

x→±

Таким чином, одержимо рівняння похилої асимптоти y=kx+b. При k = 0 маємо рівняння горизонтальної асимптоти y = b.

Приклад.Знайти асимптоти графіка функції

_y ₌ x² + 2 x − 3 _. x

Розв’язування. Область визначення функції(−∞;0 )∪(0;∞).

x² + 2 x − 3

lim y = lim = lim x + 2 − = +∞ ,

x x

x→0−0 x→0−0 x→0−0

x² + 2 x − 3

lim y = lim = lim x + 2 − =−∞ .

x

x→0+0 x→0+0 x→0 +0 x

Отже, x=0 - вертикальна асимптота.

Знаходимо похилі асимптоти y=kx+b

f ( x ) x² + 2 x − 3

k = lim = lim = lim 1 + − = 1.

x²

x → ∞_x x→ ∞ x→ ∞ x x²

x² + 2 x − 3 2 x − 3

b = lim ( f ( x ) − kx ) = lim − x = lim =

x→∞ x x→∞ x

x→∞

у

= lim 2 − = 2. Отже, y = x + 2 - похила

x→∞ x

асимптота (мал.18).

Горизонтальних асимптот нема,

оскільки х

x ² + 2 x − 3

lim y = lim = lim x + 2 − = ∞ . О

x→∞ x→∞ x x→∞ x

Мал.1

Читайте також:
Адвокатура в Україні: основні завдання і функції
Алгоритм знаходження ДДНФ (ДКНФ) для даної булевої функції
Алгоритм побудови калібрувального графіка для визначення загального білка сироватки крові
Алгоритм побудови калібрувального графіка для визначення загального білка сироватки крові
Але відмінні від значення функції в точці або значення не існує, то точка називається точкою усувного розриву функції .
Аналіз коефіцієнтів цільової функції
АРХІВНІ ДОВІДНИКИ В СИСТЕМІ НДА: ФУНКЦІЇ ТА СТРУКТУРА
АРХІВНІ ДОВІДНИКИ В СИСТЕМІ НДА: ФУНКЦІЇ ТА СТРУКТУРА
Асимптоти гіперболи
Асимптоти графіка функції
Асимптотична нормальність й ЦПТ

Переглядів: 1474

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>

Точці цього проміжку. | Загальна схема дослідження функції і побудова її графіка

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.005 сек.