Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах


РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання


ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"


ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ


Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків


Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні


Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах


Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами


ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ


ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів



Контакти
 


Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция






Точці цього проміжку.

 

Для встановлення проміжків, на яких графік функції

 

y = f ( x ) опуклий,а на яких вгнутий,вкажемо теорему,яка дає

 

достатні умови опуклості і вгнутості кривих на проміжку.

 

ТЕОРЕМА.Якщо на проміжку ( a ,b ) друга похідна функ-ції y=f ( x ) від’ємна, то її графік опуклий на цьому проміжку, якщо f '' ( x ) додатня на ( a ,b ) , то графік y=f ( x ) вгнутий.

Не приводячи строгого доведення, приведемо геометричні міркування, які пояснюють теорему.

 

Якщо скрізь на проміжку (a,b) f″(x)<0, то це означає, що f′(x), як функція для якої f″(x) є похідною, буде спадною. Отже, спадає на розглядуваному проміжку кутовий коефіцієнт дотичної tgα до кри-вої і спадає сам кут α, утворюваний дотичною з додатним напрямом осі Ox (мал12).


 


Очевидно крива на проміжку ( a ,b ) розташована під дотич-ною. Якщо f '' ( x ) > 0 , то крива буде угнутою.

 

Означення4. Точка, яка відокремлює опуклу частину непе-рервної кривої від вгнутої чи навпаки, називається точкою пере-гину.

  Необхідні умови існування точки перегину дає теорема.    
  ТЕОРЕМА. Якщо x0 - точка перегину неперервної функ-  
ції y = f ( x ) ,то друга похідна її f '' ( x ) в цій точці    
дорівнює нулю або не існує.       у    
  Точки, в яких f '' ( x ) дорівнює нулю    
       
або не існує називають критичними точками      
другого роду.              
  Проте умови теореми не є достатніми.      
Так для функції y = x 4 друга похідна      
y'' = 12 x 2 дорівнює нулю при x = 0. Проте      
графік її вгнутий в цій точці (мал.14).   Мал.1 О х  
                   

Достатні умови існування точки перегину.

 

ТЕОРЕМА. Якщо друга похідна f '' ( x ) в точці x 0 дорів-нює нулю і міняє знак при переході через цю точку, то точка з

абсцисою x0 є точкою перегину кривої y=f ( x ) .  
Доведення. Припустимо,що в точці М з абсцисою x = x0 ,
друга похідна f '' ( x ) = 0 і при переході через неї зліва на право
змінює знак з мінуса на плюс. Тоді зліва від М крива опукла
( f '' ( x ) < 0 ), а справа крива вгнута ( f '' ( x ) > 0 ).Отже, в точці М

 

крива змінює опуклість на вгнутість, і тому точка М є точкою пере-гину.

Приклад.Знайти точки перегину і визначити проміжки

опуклості та вгнутості кривої y = e x 2          
  (крива Гаусса).  
          x 2          
Знаходимо похідні: y' =− xe   ,      
         
  x 2 x 2             x 2  
y'' =−e   + x 2 e   = ( x 2 1 )e      
2 .  

Прирівнюємо другу похідну до нуля і знаходимо критичні


 


    x2                  
    2 = 0, x2 1 = 0 , x   =−1, x   = 1.  
точки другого роду: ( x21 )e    
                   
Ці точки розбивають область визначення функції на проміж-  
ки: ( −∞ ,1 ),( 1,1 ),( 1, ) +   -   +    
(мал.15). Знаходимо знаки другої Мал.1 -            
похідної в цих проміжках.       у            
  Отже, точки x1 =−1,                  
x2 = 1                  
є точками перегину. На                
проміжку (1,1 ) − крива опукла,                
на проміжках ( −∞ ,1 )( 1,) - -1 О       х  
крива вгнута (мал.16).           Мал.16  


Читайте також:

  1. Але відмінні від значення функції в точці або значення не існує, то точка називається точкою усувного розриву функції .
  2. Визначення: Площина, що проходить через дотичну й головну нормаль до кривої в точці А називається дотичною площиною.
  3. Джерело шуму , розташовують у кожусі, внутрішні поверхні якого покривають звукопоглинальними матеріалами. Різновидом цього методу є кабіна керування.
  4. Дія цього закону поширюється на державну реєстрацію всіх ю.о. незалежно від форми власності та підпорядкування, а також ф.о.- підприємців.
  5. З цього тижня розпочалася нова спортивна акція від компанії “МакДональдз Юкрейн”. Її присвячено Чемпіонату світу з футболу.
  6. ЗАВДАННЯ 14. Прочитайте анотацію. Проаналізуйте, чи всі вимоги до цього жанру втілено в запропонованому тексті. Охарактеризуйте структуру анотації.
  7. ЗАВДАННЯ 16. Проаналізуйте 2-3 складені Вашими однокурсниками анотації на матеріалі одного з текстів цього розділу. Виберіть найкращу. Обґрунтуйте свій вибір.
  8. Закон пропозиції регулює пропозицію залежно від рівня цін. Чим вища ціна товару за інших незмінних умов, тим більше стимулюється виробництво і продаж саме цього товару чи послуги.
  9. Закон пропозиції регулює пропозицію залежно від рівня цін. Чим вища ціна товару за інших незмінних умов, тим більше стимулюється виробництво і продаж саме цього товару чи послуги.
  10. Збурення що виникає в який-небудь точці простору в момент часу , проявляться через деякий час на певній відстані від початкової точки, тобто передається з певною швидкістю .
  11. ІІ варіант проведення цього структурного компонента.
  12. ІІІ варіант проведення цього структурного компонента.




Переглядів: 651

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
 | Асимптоти графіка функції

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

 

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.005 сек.