Формула Тейлора для многочлена

Нехай задано многочлен f ( x ) = c₀ + c₁x + c₂x² + ...+ c_nxⁿ і деяке число a . Покажемо, що даний многочлен можна записати у вигляді:

f ( x ) = A	+ A ( x − a ) + A ( x − a )²	+ ... + A ( x − a )ⁿ	(4.7)
			n

знайдемо значення постійних A₀, A₁, A₂,..., A_n. Підставивши x = a

в (4.7), одержимо f ( a ) = A₀ .
Продиференціюємо (4.7):
f ′( x ) = A	⋅ 1 + A ⋅ 2( x − a ) + ... + A ⋅ n( x − a )ⁿ⁻¹	(4.8)
		n
Поклавши в (4.8) x = a , одержимо	f ′( a ) = A₁ ⋅ 1. Звідси,

A =

f ′( a )

Продиференціюємо (4.8):

f ′′( x ) = A

⋅ 2 ⋅ 1 + A

⋅ 3 ⋅ 2( x − a ) + ...+ A ⋅ n( n − 1 )( x − a )ⁿ⁻ ² .

Поклавши тут x = a , одержимо

f ′′( a ) = A₂ ⋅ 2 ⋅ 1, звідки

A =

f ′′( a )

Продовжуючи такі міркування, одержимо

A =

f ′′′( a )

і взагалі A =

f ^{( n )}( a )

Отже, для будь-якого многочлена і будь-якого a справед-

лива формула

f ′( a )

f ′′( a )

f ( x ) = f ( a ) +

( x − a ) +

( x − a )² + ... +

₊ ^f ^{( n )}^{( a )} _{( x} ₋ _{a )}n _, n!

яка називається формулою Тейлора для многочлена. Приклад. Нехай f ( x ) = x³ + 2 x² − 4 x − 5. Розкласти за

степенями x − 2.

Розв’язування:

f ( x ) = x³ + 2 x² − 4 x − 5 , f ( 2 ) = 2³ + 2 ⋅ 2² − 4 ⋅ 2 − 5 = 3 ,

f ′( x ) = 3 x² + 4 x − 4 , f ′( 2 ) = 3 ⋅ 2² + 4 ⋅ 2 − 4 = 16 , f ′′( x ) = 6 x + 4 ,f′′( 2 ) = 6 ⋅ 2 + 4 = 16 ,

f ′′′( x ) = 6 , f ′′′( 2 ) = 6.

Тому,

x³ + 2 x² − 4 x − 5 = 3 + 16( x − 2 ) +		( x − 2 )² +	( x − 2 )³ =
	1 ⋅ 2
	1 ⋅ 2	⋅ 3

= 3 + 16( x − 2 ) + 8( x − 2 )² + ( x − 2 )³ .

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Правило Лопіталя	\|	Формула Тейлора для довільної функції

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.004 сек.