Студопедия
Новини освіти і науки:
МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах

РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання

ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ"

ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ

Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків

Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні

Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах

Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами

ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ

ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів


Контакти


Тлумачний словник
Авто
Автоматизація
Архітектура
Астрономія
Аудит
Біологія
Будівництво
Бухгалтерія
Винахідництво
Виробництво
Військова справа
Генетика
Географія
Геологія
Господарство
Держава
Дім
Екологія
Економетрика
Економіка
Електроніка
Журналістика та ЗМІ
Зв'язок
Іноземні мови
Інформатика
Історія
Комп'ютери
Креслення
Кулінарія
Культура
Лексикологія
Література
Логіка
Маркетинг
Математика
Машинобудування
Медицина
Менеджмент
Метали і Зварювання
Механіка
Мистецтво
Музика
Населення
Освіта
Охорона безпеки життя
Охорона Праці
Педагогіка
Політика
Право
Програмування
Промисловість
Психологія
Радіо
Регилия
Соціологія
Спорт
Стандартизація
Технології
Торгівля
Туризм
Фізика
Фізіологія
Філософія
Фінанси
Хімія
Юриспунденкция

Правило Лопіталя

 

Знаходження границь, які вимагають “розкриття

невизначеностей” типу або ∞ значно спрощується за допомогою  
  ∞  
     
правила Лопіталя.        

Правило Лопіталя. Якщо функції f ( x ) і g( x ) диференці-йовані в околі точки x0 , за виключенням, можливо, самої точки

x0 , причому в цьому околі g' ( x ) ≠ 0 і якщо  
lim f ( x ) = lim g( x ) = 0 або lim f ( x ) = lim g( x ) =∞ ,  
x→ x0   x→ x0     x→ x0   x→ x0    
то lim   f ( x ) = lim f ' ( x ) .          
               
x→ x0 g( x ) x→ x0 g' ( x )          

Коротко це правило можна сформулювати так:

Для невизначеностей типу або ∞ границя відношення  
  ∞  
     

Двох функцій дорівнює границі відношення їх похідних, якщо вона існує.

Доведемо першу частину цього правила.

 

Доведення. Нехай функціїf ( x )іg( x )на деякому проміж-ку [a ,b]задовольняють умови теореми Коші і у внутрішній точці

 


x0 цього проміжку f ( x0 ) = 0         і   g( x0 ) = 0.   Візьмемо на  
проміжку [a ,b]яку-небудь     точку x ,   відмінну від x0 , тобто  
x ≠ x0 . Застосувавши теорему Коші,маємо              
      f ( x ) − f ( x0 ) =   f ′( c )                                    
                      ,                                    
      g( x ) − g( x0 )                                            
          g′( c )                                    
де c -   точка, що знаходиться між x0 та x. Оскільки за припущен-  
ням f ( x ) = 0 , g( x ) = 0 , то f ( x ) = f ′( c ) .              
                       
                        g( x )   g′( c )              
                                             
    Якщо x прямує до x0 , то і c буде прямувати до x0 , бо c  
міститься між x і x. Таким чином, якщо існує   lim   f ′( x ) , то  
     
                                            x→ x0 g′( x )  
                                                 
існує   lim f ′( c ) , які рівні. Звідси випливає, що              
  g′( c )              
      c→ x0                                                    
                  lim     f ( x ) = lim     f ′( x ) .          
                                       
                  x→ x0 g( x ) x→ x0 g′( x )          
пу ∞ Випадок, що в такий спосіб розкривається невизначеність ти-  
  вимагає більш складних міркувань і доводиться в більш пов-  
∞                                                            
них курсах вищої математики.                                    
    Зауваження.Відмітимо,що умова про існування границі по-  
хідних є суттєвою.       x − sin x                            
    Наприклад,   lim = 1       і виконані   умови  
               
              x→∞ x + sin x                          
lim ( x − sin x ) = lim ( x + sin x ) =∞. Про те застосувати правило  
x→∞         x→∞                                              
Лопіталя при розкритті цієї невизначеності типу   ∞ неможливо, бо  
  1 − cos x                                           ∞          
lim не існує.                                              
                                               
x→∞ 1 + cos x                                                    
    Приклад.Обчислити lim tg( x 2 − 4 )   .                
          − 3 x +                  
                      x→2 x 2                      

 


  Розв’язування. Підстановка x = 2 в даний вираз дає невизна-  
ченість . Застосуємо правило Лопіталя:    
     
                     
lim tg( x 2 − 4 ) = lim ( tg( x 2 − 4 ))' =    
    3 x + 2   3 x +      
x→2 x2 −   x→2 ( x2 − 2 )'      
= lim         2 x =   2 ⋅ 2 = 4.  
  2 ( x2 − 4 )⋅ ( 2 x − 3 ) 1 ⋅ ( 2 ⋅ 2 − 3 )  
x→2 cos      

 

Формула Тейлора

 

Важливою задачею математичного аналізу є знаходження значень функцій, заданих формулами. Безпосередньо ми можемо обчислити значення функцій, заданих многочленами, чи дробово-раціональними функціями. Так, наприклад, знайдемо значення фун-

кцій: а) y = x2 − 5 x + 4 , при x = 2 , б) z = 2 x − 1 , при x = 2 .  
     
    4 x2 + 3      
Отримаємо: y( 2 ) = 22 − 5 ⋅ 2 + 4 = 2 , z( 2 ) = 2 ⋅ 2 − 1 = .  
   
      4 ⋅ 22 + 3    
                 

Тоді як значення функцій y = sin x , y = ln x знайти безпосеред-

 

ньо не можемо.

 

В розв’язанні цієї задачі може допомогти формула Тейлора. Встановимо цю формулу для многочленів.

 

Читайте також:

  1. Аверсивную терапію використовують, як правило, при лікуванні алкоголізму, нікотиновій залежності і деяких інших захворювань.
  2. Будучи, як правило, дочірніми фірмами великих компаній, вони існують за рахунок засобів венчурного капіталу і здійснюють чітко визначений вид діяльності.
  3. В цілому сукупність суспільного продукту – це сукупність благ і послуг, вироблених суспільством за певний період часу (як правило, за рік).
  4. В цілому сукупність суспільного продукту – це сукупність благ і послуг, вироблених суспільством за певний період часу (як правило, за рік).
  5. Гарантії реалізації конст прав і свобод в ЗК. Правило Міранди,Мандамус,habeas corpus.
  6. До основних засобів, як правило, не належать
  7. Зайнятість – це ді-сть громадян, пов’язана із задоволенням особистих та суспільних потреб і така, що, як правило, приносить їм дохід у грошовій або іншій формі.
  8. Зайнятість – це діяльність громадян, пов’язана із задоволенням особистих та суспільних потреб і така, що , як правило, приносить дохід у грошовій формі.
  9. Заробітна плата – це винагорода, обчислена, як правило, у грошовому виразі, яку за трудовим договором власник або уповноважений ним орган виплачує працівникові за виконану роботу.
  10. Золоте» правило інвестування.
  11. І ми пам’ятаємо правило: Від живого споглядання до абстрактного мислення, і від нього до практики – такий є діалектичний шлях пізнання об’єктивної реальності.
  12. Істотними умовами договору купівлі-продажу за загальним правилом є умови щодо предмету.



Переглядів: 530

<== попередня сторінка | наступна сторінка ==>
Теорема Коші | Формула Тейлора для многочлена

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:
  

© studopedia.com.ua При використанні або копіюванні матеріалів пряме посилання на сайт обов'язкове.


Генерація сторінки за: 0.012 сек.