Проміжки зростання і спадання функцій називаються проміжками монотонності функцій.

Для їх визначення знаходять похідну функції, прирівнюють її до нуля і знаходять корені похідної. Цими коренями розбивають область визначення функції на проміжки. В кожному з проміжків беруть всередині точку і встановлюють знак похідної в них. В тих проміжках, де похідні додатні, функція зростає, а де від’ємні – спа-дає.

Приклади.Знайти проміжки зростання і спадання функцій:

	_x3
а) y =		− x² − 3 x;

б) y=lnx.

Розв’язування.

а) Область визначення функції – вся числова вісь (- ∞ ,∞ ) .

Знаходимо похідну: y′ = x² − 2 x − 3.

Шукаємо корені похід-

ної: x² − 2x − 3 = 0,

D = 4 + 4 ⋅ 3 = 16 ,

x₁

2 − 4

=−1,

x₂ =

2 + 4

= 3.

-1

Мал.7

Наносимо ці корені на числову пряму. Область визначення вони поділяють на три проміжки (мал.7).

Знаходимо знаки похідної в кожному з зазначених проміжків, обчисливши значення похідної в деяких точках кожного проміжка:

f ′( −2 ) = ( −2 )² − 2( −2 ) − 3 = 4 + 4 − 3 = 5 > 0. f ′( 0 ) =−3 < 0.

f ′( 4 ) = 4² − 2 ⋅ 4 − 3 = 16 − 8 − 3 = 5 > 0.

Отже, функція зростає на проміжках: ( −∞ ,−1 ) ∪( 3,∞ ), спадає на проміжку (-1;3).

б) Область визначення тільки додатні числа (0; ∞ ) .

y′= ( x )′ ln x − x(ln x )′= ln x − x ⋅ ¹ = ln x − 1. x

Знаходимо корені похідної ln x − 1 = 0 , ln x = 1 , x = e .
-	+	Наносимо цей корінь на промінь, що зо-
бражає область визначення (мал.8).
е	_Мал_.8 Встановлюємо знаки похідної в цих про-

міжках:

y′( 1 ) = ln 1 − 1 = 0 − 1 =−1 < 0 ,

y′( e² ) = ln e² − 1 = 2 − 1 = 1 > 0.

Отже, функція спадає на проміжку ( 0;e ), зростає на проміж-

ку ( e;∞ ).

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Лагранжа.	\|

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.003 сек.