Параболічна залежність

Нехай залежність між змінними величинами задається форму-

лою y = ax² + bx + c. Така

залежність називається па-раболічною. Скористаємося методом найменших квад-ратів для знаходження кое-фіцієнтів a ,b,c.

Допустимо, що нам задана емпірична таблиця, за якою будуємо малюнок

(мал.13).

δ₁	δ_n

	δ_і
	δ₂
	δ₃

1 2 3 i n

Мал.13

За аналогією з лінійною залежністю розглянемо суму квадра-тів нев’язок:

F ( a ,b,c ) =∑ⁿ δ_i² , деδ_i =		− y_i , а	_i = ax_i² + bx_i	+ c , i = 1,2,...,n.
y_i	y
i = 1
Підставивши замість δ_i їх значення в F ( a ,b,c ), отримаємо:
F ( a ,b,c ) =∑ⁿ	( ax_i² + bx_i + c − y_i )² .
i=1					досягла мінімуму,
Накладемо вимогу, щоб функція F ( a ,b,c )

і запишемо необхідну умову існування екстремуму:

∂F ( a ,b,c )
		∂a

	∂F ( a ,b,c )

	∂b

		∂F ( a ,b,c )

	∂c

= 0 ,

= 0.

Розписавши систему рівнянь в розгорнутому вигляді і викона-вши відповідні елементарні перетворення , одержимо нормальну систему рівнянь для випадку параболічної залежності:

	n		n		n	n
a∑ x _i⁴	+ b∑ x _i³	+ c∑ x _i²	=∑x_i²
	i = 1		i = 1		i = 1	i = 1
	n		n		n	n
^a∑ ^x i	+ b∑x_i	+ c∑ x _i	⁼∑^xi
i = 1		i = 1		i = 1	i = 1

N n n

a∑x_i² + b∑x_i + c ⋅ n =∑ y_i .

i = 1 i = 1 i = 1

y_i ,

Y ,

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
	\|	Нелінійні залежності, які зводяться до лінійних. Гіперболічна залежність

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.014 сек.