МАРК РЕГНЕРУС ДОСЛІДЖЕННЯ: Наскільки відрізняються діти, які виросли в одностатевих союзах
РЕЗОЛЮЦІЯ: Громадського обговорення навчальної програми статевого виховання ЧОМУ ФОНД ОЛЕНИ ПІНЧУК І МОЗ УКРАЇНИ ПРОПАГУЮТЬ "СЕКСУАЛЬНІ УРОКИ" ЕКЗИСТЕНЦІЙНО-ПСИХОЛОГІЧНІ ОСНОВИ ПОРУШЕННЯ СТАТЕВОЇ ІДЕНТИЧНОСТІ ПІДЛІТКІВ Батьківський, громадянський рух в Україні закликає МОН зупинити тотальну сексуалізацію дітей і підлітків Відкрите звернення Міністру освіти й науки України - Гриневич Лілії Михайлівні Представництво українського жіноцтва в ООН: низький рівень культури спілкування в соціальних мережах Гендерна антидискримінаційна експертиза може зробити нас моральними рабами ЛІВИЙ МАРКСИЗМ У НОВИХ ПІДРУЧНИКАХ ДЛЯ ШКОЛЯРІВ ВІДКРИТА ЗАЯВА на підтримку позиції Ганни Турчинової та права кожної людини на свободу думки, світогляду та вираження поглядів Контакти
Тлумачний словник |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Інтеграла дорівнює підінтегральній функції.
Отже похідна від первісної дорівнює підінтегральній функції. ТЕОРЕМА 4.(Властивість2)Диференціал від невизначе- Ного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу d (∫ f ( x )dx)= f ( x )dx (6.5)
Доведення.За означенням диференціалаd ( f ( x ))=f′( x )dx.
Тому
d (∫ f ( x )dx)= d( F ( x ) + C )= d( F ( x ))= F ′( x )dx = f ( x )dx .
ТЕОРЕМА 5.(Властивість3)Невизначений інтеграл від
диференціала деякої функції F(x) дорівнює цій функції з точністю до довільної сталої,
Доведення.Продиференціюємо ліву і праву частини рівності. Одержимо: d ∫d ( F ( x )) = d ( F ( x )) = f ( x )dx і
d( F( x ) + С ) = d( F( x )) = F′( x )dx = f ( x )dx .
Праві частини рівностей однакові. Значить рівні й ліві. Теоре-му доведено.
Аналогічно, диференціюванням лівої і правої частин рівності, доводяться теореми 6 і 7.
ТЕОРЕМА 6.(Властивість4).Сталий множник можна ви-
Носити за знак невизначеного інтеграла.
ТЕОРЕМА 7.(Властивість5)Інтеграл від алгебраїчної су- Ми скінченого числа функцій дорівнює алгебраїчній сумі інтегралів від цих функцій
Таблиця невизначених інтегралів
Інтегрування є операція, обернена до диференціювання. Тому формули інтегрування отримують з формул для знаходження похід-них. А універсальність застосування формул інтегрування випливає з теореми про незалежність вигляду невизначеного інтеграла від вибору аргументу (інваріантність невизначеного інтеграла відносно змінної інтегрування ). ТЕОРЕМА 8. Нехай f(x) – деяка неперервна функція на даному проміжку, х – незалежна змінна, F(x) – її первісна, ∫ f ( x )dx = F( x ) + C і нехай u =ϕ( x ) неперервно диференційо- вана функція. Тоді∫f ( u )du=F ( u )+C . (6.9)
Доведення.Розглянемо інтеграл∫f ( u )du=∫f ( u )u′dx.Вцьому випадку складна функція F( u ) = F( ϕ( x )) є первісна для f(u).
Справді, внаслідок незалежності диференціала першого по-рядку від вибору незалежної змінної, одержуємо dF ( u ) = F ′( u )du = f ( u )du .При цьому
Тому, з справедливості формули (6.3), випливає справедли-вість формули
Отже формулами інтегрування можна користуватись при будь-якій змінній інтегрування. Використовуючи таблицю дифере-нціалів основних елементарних функцій, виведемо деякі формули інтегрування. Інші виводяться аналогічно.
5) ∫undu = un+ 1 + C , ( n ≠ −1 ) . n + 1 Для виведення цієї формули використовують формулу для знаходження диференціала dun = nun− 1du . Якщо показник степеня дорівнює n+1 формула запишеться так: dun+ 1 = ( n + 1 )undu .
Інтегруючи цю формулу (ліву і праву частину) і, зробивши перетво-рення, одержимо
доводяться диференціюванням лівої і правої частин рівності. Такий метод доведення формул можна використовувати для
будь-якої формули інтегрування. 7) Доведемо справедливість формули ∫ 1хdx = lnх + C .
Для компактності всі формули зводять в таблицю.
Читайте також:
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|