• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Дії над множинами

1. Включення.

Множина називається підмножиною множини , якщо кожний елемент множини є елементом множини . Символічно:

Це позначають як або Порожня множина вважається підмножиною будь-якої множини:

Зауважимо, що множини рівні тоді і тільки тоді, коли і

Операції над множинами можна символічно задати геометричними фігурами на площині.

Зображення включення .

2. Об’єднання.

Об’єднанням множин і називається множина, що складається з тих елементів, які належать принаймні одній із множин або (позначають ), тобто

Зображення об’єднання .

Властивості операції об’єднання:

1. (комутативність),

2. (асоціативність),

3. ,

де — довільні множини з універсуму .

3. Перетин.

Перетином множин і називається множина, що складається із спільніх елементів множин і (позначають ), тобто

Зображення перетину .

Властивості операції перетину:

1. (комутативність),

2. (асоціативність),

3. ,

де — довільні множини з універсуму .

Операції об’єднання та перетину пов’язані між собою двома дистрибутивними законами:

1. ,

2. ,

де — довільні множини з універсуму .

4. Різниця.

Різницею множин і називається множина, що складається з усіх тих елементів множини , що не належать множині (позначають ), тобто

Зображення різниці .

5. Доповнення.

Доповненням до множини називається множина (позначають ), тобто

Зображення доповнення .

Властивості операції доповнення:

1) ,

2) ,

3) ,

4) (перший закон двоїстості),

5) (другий закон двоїстості).

6. Симетрична різниця.

Симетричною різницею множин і називається множина

Зображення симетричної різниці .

Властивості симетричної різниці:

1) (комутативність),

2) ,

3) .

7. Прямий добуток.

Впорядкованою парою елементів і називається множина

Елемент називається першим елементом пари, а елемент — другим. Спорядковані пари і рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їх відповідні елементи і :

Зауважимо, що при маємо, що

Прямим добутком множин і називається множина відповідних пар, в яких перший елемент належить множині , а другий — множині (позначають ), тобто

Приклади прямого добутку:

1. Нехай

, .

Тоді

2. Нехай . Тоді прямий добуток є множиною всіх впорядкованих пар дійсних чисел і позначається . Отже . Відомо, що вибравши систему координат на площині, можна кожну точку площини задати впорядкованою парою чисел. Метод координат застосував у XVII ст. французький математик і філософ Рене Декарт, тому прямий добуток іноді називають декартовим.

Зауважимо, що для прямого добутку, взагалі кажучи,

За аналогією з впорядкованою парою можна ввести поняття впорядкованої трійки елементів множин

За означенням впорядкована трійка

Дві впорядковані трійки і рівні тоді і тільки тоді, коли

Множина всіх впорядкованих трійок елементів множин називається прямим (декартовим) добутком цих множин і позначається . Тобто

Зауважимо, що взагалі кажучи,

Читайте також:

1. Властивості операцій над множинами.
2. Діаграма № 5.1. Співвідношення між числовими множинами Q, Z, N.
3. Множина. Операції з множинами
4. Операції над записами і множинами.
5. Операції над множинами
6. Операції над множинами
7. Операції над множинами: Об'єднання
8. Операції над множинами: Різниця

Переглядів: 2478