• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Диференціальні рівняння рівноваги

Виділимо з тіла, що перебуває під дією зовнішніх сил, нескінченно малий паралелепіпед, грані якого паралельні координатним площинам, а ребра мають довжину . На кожній грані такого елементарного паралелепіпеда діють по три складові напруги, паралельні координатним осям. Всього на шести гранях одержимо 18 складових напруг.

Нормальні напруги позначаються у вигляді , де індекс позначає нормаль до відповідної грані (тобто може приймати значення ). Дотичні напруження мають вигляд ; тут перший індекс відповідає нормалі до тієї площадки, на якій діє дане дотичне напруження, а другий вказує вісь, паралельно який ця напруга спрямована (мал.1.1).

Рис.1.1. Нормальні й дотичні напруження

Для цих напруг прийняте наступне правило знаків. Нормальна напруга вважається позитивною при розтяганні, або, що те ж саме, коли вона збігається з напрямком зовнішньої нормалі до площадки, на якій діє. Дотичне напруження вважається позитивним, якщо на площадці, нормаль до якої збігається з напрямком паралельної йому координатної осі, воно спрямоване в бік відповідній цій напрузі позитивної координатної осі.

Складові напруг є функціями трьох координат. Наприклад, нормальну напругу в точці з координатами можна позначати

В точці, що знаходиться від розглянутої на нескінченно малій відстані, напругу з точністю до нескінченно малих першого порядку можна розкласти в ряд Тейлора:

Для площадок, які паралельні площині змінюється тільки координата х, а приріст Тому на грані паралелепіпеда, що збігається з площиною нормальна напруга буде , а на паралельній грані, що знаходиться на нескінченно малій відстані , — Напруги на інших паралельних гранях паралелепіпеда зв'язані аналогічним чином. Отже, з 18 складових напруги невідомими є тільки дев'ять.

Крім напруг на паралелепіпед діють об'ємні сили. Якщо позначити проекції на координатні осі об'ємних сил, віднесених до одиниці об'єму тіла через то складові об'ємних сил, що діють в об’ємі розглянутого паралелепіпеда, будуть

Для тіла, що перебуває в рівновазі, повинні задовольнятися шість рівнянь статики: три рівняння проекцій на координатні осі й три рівняння моментів щодо цих осей.

Складемо рівняння проекцій на вісь х. Перемножуючи кожну напругу на площу грані, по якій воно діє, і переходячи в такий спосіб від напруг до сил, одержимо

Після перетворень це рівняння рівноваги приймає вигляд

Аналогічним чином виходять два інших рівняння проекцій, і в результаті три диференціальних рівняння рівноваги записуються так:

(1.1)

Перейдемо до рівнянь моментів щодо координатних осей. Складемо суму моментів всіх сил щодо осі y:

Після перетворень, відкидаючи величини четвертого порядку малості й розділивши на об’єм паралелепіпеда, одержимо

Суми моментів щодо двох інших осей дають аналогічні співвідношення. Ці три рівності виражають закон парності дотичних напружень:

(1.2)

Цей закон формулюється в такий спосіб: по двох взаємно перпендикулярних площадках складових дотичних напруг, перпендикулярні лінії перетинання цих площадок, рівні одна одній

Рівності (1.2) приводять до того, що з дев'яти складових напруг, що характеризують напружений стан в точці тіла, залишаються тільки шість:

(1.3)

Для визначення цих шести величин є тільки три рівняння рівноваги (1.1), отже, задача теорії пружності по визначенню напруг у нескінченно малому об’ємі є статично невизначеною.

Відсутні рівняння можна одержати, розглядаючи деформації тіла і його фізичні властивості.

Читайте також:

1. V Процес інтеріоризації забезпечують механізми ідентифікації, відчуження та порівняння.
2. VІI. Утворіть вищий та найвищий ступені порівняння від прислівників із вправи VI.
3. Аналіз загальної рівноваги
4. Аналіз загальної рівноваги розширює можливості оцінки ефективності функціонування ринкової економіки.
5. Аналіз рівноваги та безпеки операційної діяльності
6. Аналіз часткової рівноваги Крива виробничих можливостей
7. Аналіз часткової та загальної рівноваги
8. Аналіз часткової та загальної рівноваги
9. Аналітичні умови рівноваги довільної просторової системи сил
10. Аналітичні умови рівноваги системи збіжних сил
11. Аналітичні умови рівноваги часткових випадків систем сил
12. Асимптотичний підхід до порівняння оцінок

Переглядів: 1187