Для рішення плоскої задачі в напруженнях у полярній системі координат маємо два рівняння рівноваги (4.1) і рівняння нерозривності деформацій (4.3). Однак часто доводиться мати справа з напруженим станом, при якому у всіх точках тіла діють тільки радіальні нормальні напруги . Інші складові напруг, як і складових об'ємних сил, дорівнюють нулю. Такий напружений стан називається простим радіальним.
У цьому випадку одне рівняння рівноваги обертається в тотожність, а інше рівняння і рівняння нерозривності деформацій значно спрощуються:
(а)
Систему рівнянь (а) можна проінтегрувати у загальному виді методом Фур'є. Для цього представимо напруження , що є функцією двох змінних і , у вигляді добутку двох функцій:
(б)
перша з яких є функцією тільки однієї змінної , а друга — тільки змінної .
Підставляючи функцію (б) у рівняння (а), одержуємо два звичайних диференціальних рівняння із двома невідомими функціями й :
(в)
Перше рівняння (в) після розподілу на дає
звідки після поділу змінних
Інтегруючи, одержуємо
або
Потенцюючи, знаходимо функцію
(г)
Для відшукання функції підставимо знайдену функцію в друге рівняння (в):
Після розподілу на дріб одержуємо диференціальне рівняння
Його рішення представляється у вигляді
(д)
Підставляючи рішення (г) і (д) у вираз (б), знаходимо
(е)
Для зручності подальших викладень уведемо нові довільні постійні і :
Тоді функція (е) приймає вид
(4.6)
або, якщо застосувати тригонометричну формулу перетворення косинуса різниці двох кутів,
Отже, простий радіальний напружений стан представляється наступними напруженнями: