• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Тема 5. Арифметичні операції в двійково-десяткових СЧ

5.1 Представлення десяткових чисел в Д-кодах

5.2 Формальні правила порозрядного складання в Д-кодах

5.3 Представлення від’ємних чисел в Д-кодах

5.4 Виконання операцій додавання і віднімання чисел в Д-кодах

5.1 Представлення десяткових чисел в Д-кодах

Операції над десятковими числами (десяткова арифметика) часто включається в склад головних команд універсальних ЄВМ. Крім того десяткова арифметика застосовується широко в електронних калькуляторах і персональних мікроЄВМ. Тому крім загальної інформації про можливості представлення десяткових чисел розробнику потрібно знати і алгоритми виконання арифметичних операцій.

Д*код (двійково-кодоване представлення) десяткового числа – таке його представлення в якому кожна десяткова цифра зображується тетрадою з двійкових символів :

= (5.1)

де – двійкові розряди тетроди j: n – кількість десяткових розрядів.

Кількість різних Д кодів визначається кількістю можливих поєднань по 10 з 16 комбінацій, які допускає тетрада. При обробці Д-кода слід виходити з загальних вимог представлених до систем числення:

− різним десятковим цифрам повинні відповідати різні тетради;

− велика десяткова цифра повинна зображуватися великою тетрадаю (якщо розряди тетради мають мають вагу по двійковій системі числення);

− для десяткових цифр a = { } і b = { }, пов’язаних відношенням a + b = 9, повинно задовольнятися умовою

β = ( і = 1, 2, 3,4) (5.2)

Для однозначності переводу чисел в Д-код і назад бажано, щоб розряди тетрад мали певну вагу. Тоді значення десяткової

цифри відповідає виразу

де − вага розряду тетради .

В табл. 5.1 представлено кодування десяткових цифр в різних Д-кодах.

В таблиці для кожного Д-кода вказані дозволені комбінації. Всі інші комбінації – заборонені.

Наявність дозволених і заборонених комбінацій – дуже важлива властивість Д-кодів. Воно відрізняє їх від звичайних позиційних систем числення, в яких всі комбінації – дозволені. Розглянемо найбільш поширені Д-коди. Код прямого заміщення (система 8421). В коді дозволені комбінації, які відповідають двійковим еквівалентам десяткових цифр з вагою розрядів, рівних степеням підстави 2. Для цього коду не виконується умова (5.2),так як цифри є доповненням до 9, не виходять простими інвертируванням наборів тетрад.

Код (система 2421). Для кода вага розрядів тетради відповідно рівна 2, 4, 2, 1; таблиця кодування ділиться на 2 частини: від 0 до 4 тетради повторюють двійкові еквіваленти, від 5 до 9 – в порівнянні з двійковою системою кожна тетрада містить надлишок +0110. Це дає можливість любу цифру однієї частини таблиці перетворити в її доповнення до 9 простим інтегруванням.

Код (система 8421+ 3). Для цього кода всі тетради мають значення на три одиниці більше, чим тетради кода (звідци назва кода), і для нього не існує цілочисельних значень ваги, котрі задовільняли би (5.3)

Коди (система 53 – 21) і ( система 75 – 31). Ці коди відрізняються від вищезгаданих кодів тим, що для них деяка вага має негативнее значення.

В обчислюваних машинах різного призначення частіше всього використовуються коди і .

5.2 Формальні правила порозрядного складання в Д-кодах

Для визначення формальних правил порозрядного складання чисел, представлених в Д-коді, розглянемо ті особливості котрі притаманні цим кодам.

1. Наявність дозволених і заборонених комбінацій. Появлення забороненої комбінації при появленні помилки або ж при необхідності ввести коректування результата.

2. При складанні тетрад виникає потетрадний перенос = 16 замість порозрядного переносу = 10. Це призводить до необхідності корекції результата.

На справді якщо складаються числа … і , то сума і

де – і-й розряд суми; – перенос із молодшої тетради; = {0,1}, = [0,1], q = 10. Далі виведем правила складання стосовно до Д-кодів. При складанні чисел в коді можуть виникнути наступні ситуації.

1.Нехай , де - тетради кода . При складанні в даному розряді числа створюється сума менше 10. Якщо дії над розрядами тетради виробляють за правилами двійкової арифметики, то правильний результат одержують без корекції

Приклад 5.1 Скласти тетради Розв’язок + =1001. Відповідь = 1001

2.Нехай , т. е. виникає десяткове перенесення і сума повинна дорівнювати , де .

Свідченням того, що результат неправильний є поява забороненої комбінації, якщо 15 , або поява потетрадного перенесення = 16, що перевищує значення десяткового перенесення на 6. Отже потрібна корекція результату в даній тетраді введенням поправки, рівної +0110.

Приклад 5.2 Скласти тетради і при значенні . Розв’язок + = 1111. Величина = 1111 - заборонена комбінація. Отже треба ввести поправку:

т.е результат дорівнює 0101в даній тетраді і утворене перенесення в старшу тетраду

Відповідь 0101, .

Приклад 5.3 Скласти тетради , 1001 при значенні

Розв’язок + = (1)0001

Поява потетрадного перенесення вимагає корекції результату: = 0001 + 0110 + 0111

Отже: = 0111, .

Приклади розглянуті вище, дають можливість сформулювати наступні правила потетрадного складання чисел в -коді:

якщо при потетрадному складанні перенесення в сусідню старшу тетраду не виникає ( ), то результат підсумування не потребує корекції;

корекція результату потетрадного складання шляхом добавлення поправки + 0110 потрібна лише, якщо:

а) виникає потетрадне перенесення в старшу тетроду( 1);

б)виникає заборонена комбінація;

Розглянемо приклад підсумування цілих чисел.

Приклад 5.4Скласти числа A= 279 = 0010 0111 1001 і В= 581 = 0101 1000 0001записані в коді .

Розв’язок. Перш за все проводиться потетрадне підсумовування, а потім корекція там, де це необхідно:

A= 0010 0111 1001

+

B= 0101 1000 0001

+ 0111 1111 0101

0110 0110 поправки

С = 1000←0110 ←0000

Тут стрілка вказує передачу одиниці десяткового перенесення. Відповідь: С = 860 = 1000 0110

При складанні чисел в коді можуть виникнути такі випадки:

1. Нехай <5 і , де і тетради для кода . Тоді: якщо + – результат складання корекції не потребує; якщо + ≥ 5 – результат потрапляє в другу частину таблиці кодування, де = . Тут необхідна корекція результату введенням поправки 0110. Ознака цього поява заборонених комбінацій.

2. Нехай ≥ 5 і , 15 > + ≥ 5.

Так як = + 6, то при підсумовуванні поправка не потрібна.

3. Нехай ≥ 5 і ; 1. Тоді: якщо 10 ≤ + ≤ 15 - результат вимагає корекції шляхом введення поправки – 0110, тому що з'являється заборонена комбінація *;

якщо ж + < 15 – результат не потребує корекції.

При потетрадному підсумовуванні в -коді результат підсумовується без корекції вихудить у всіх випадках крім наступних: якщо за відсутності переносу в старшу тетраду 0 ) виникає заборонена комбінація, то потрібно ввести поправку +0110; якщо за наявності переносу в старшу тетраду 1) виникає заборонена комбінація то потрібно ввести поправку -0110 (1001 у зворотному коді або 1010 в додатковому коді).

Так як поправки бувають позитивні або негативні, то їх введення супроводжується блокуванням ланцюгів міжтетрадного перенесення в період корекції результату.

Приклад 5.5 Скласти числа А = 0010 0100 1110 і В= 0001 1100 1111. Записані в коді . Розв’язок. Спочатку проводиться потетрадне підсомування, а потім здійснюється корекція:

А= 0010 0100 1110

+

В= 0001 1100 1111

С= 0100← 0001← 1101

Результат отриманий без корекції. Відповідь = +

Приклад 5.6 Скласти числа А=137 = 0001 = 0011 1101 і В = 457 = 0100 1011 1101 записані в коді .

Рішення. Спочатку проводиться потетрадное підсумовування, а потім корекція:

А= 0001 0011 1101

+ +

В= 0100 1011 1101

0101 1111 1010

+ +

0110 0000 1010 поправки

С= 1011 1111 0100

У молодшій тетраді виникає перенесення = 1і заборонена комбінація - вводиться поправка 1010 в додатковому коді, в старшій тетраді при 0 виникла заборонена комбінація - поправка вводиться 0110.

Відповідь: С= 594 =

При складанні чисел в коді можливі наступні випадки. Нехай , , де і – тетради для кода . Тоді: якщо то = ; = , результат потребує корекції шляхом поправки – 0011: якщо 10, то = .

Тут виникає десяткове перенесення, яке, за умовою, «забирає» з собою шість надлишкових комбінацій. Отже, в даному випадку потрібна корекція результату шляхом введення поправки +0011.

Приклад 5.7 Скласти числа А=35=0110 1000 і В=28=0101 1011, записані в коді Розв’язок. Спочатку проводиться потетрадне додавання, а потім введення поправок:

А= 0110 1000

+

В= 0101 1011

1100 ←0011

0011 + 0011 поправки

С= 1001 0110

Відповідь:

Тут поправки вводяться при блокуванні ланцюгів потетрадного переносу. Правила введення поправок можна сформулювати так: якщо при складанні тетрод не виникає переносу 0 ), то поправка рівна – 0011 (або доповнення + 1101); якщо виникає потетрадний переніс 1 ), то поправка рівна + 0011.

Аналогічним образом можна роздивитися правила сумування для інших Д-кодів.

5.3 Представлення від’ємних чисел в Д-кодах

Представлення Д-коду в розрядній сітці машини може здійснюватися у формі з фіксованою або з плаваючою комою. При цьому від’ємні числа повинні представлятися в прямому, оберненому або доповняльному кодах. Тому якщо А = 0, , де тетради, то

= 1, … ;

= 1, … ;

= 1, … ; (5.5)

де – доповнення до q — 1 у всіх тетрадах; - доповнення до q — 1 у всіх тетрадах, за винятком молодшої, для якої це доповнення до q = 10.

З правил перетворення (5.5) випливає, що

+ = q – 1 (5.6)

Це означає, що для Д-кодів, для яких виконується умова (5.2), обернений код виходить простим інвертуванням набору тетрад.

Приклад 5.8 Знайти зворотній і додатковий коди в коді числа для . Розв’язок. На підставі (7.5) = 1.1110 1101 0010.

Використовуючи співвідношення = , знаходимо доповняльний код: = 1.1110 1101 0011.

Додаток одиниці в молодшу тетраду при утворенні доповняльного коду в коді здійснюється за правилами додавання коду для цього. Відповідь: =1,111011010010 , = 1,1110 1101 0011 .

Приклад 5.9. Знайти обернений і доповняльний коди в коді Д₄ для числа А=-0,4591=0,0111100011000100

Розв’язок. На підставі (5.5)

=1,1000 0111 0011 1011 ;

= 1,1000 0111 0011 1100;

Код Д₁ відрізняється тим, що для нього не виконується умова (5.2). Ця особливість коду впливає на перетворення зворотнього або додаткового коду, так як інвертування набору тетрад означає отримання доповнення до 2⁴ -1= 15. Отже, необхідно прибрати різницю. Один з використовуваних при цьому прийомів полягає в тому, що в усі цифрові тетради числа в коді Д₁ добавляєтся +0110 і після цього проводиться інвертування набору. Отримане зображення являє собою обернений код числа.

Приклад 5.10. Отримати обернений код в коді Д₁ для числа А=-0,256=

-0,0010 0101 0110 Д₁

Розв’язок. Спочатку до всіх тетрад додається 0110:

0,0010 0101 0110

+ + +

0110 0110 0110

0,1000 1011 1100

Після інвертування цього набору отримуємо =1,0111 0100 0011 Д₁ . Відповідь: =1,0111 0100 0011 Д_1.

5.4 Виконання операцій додавання і віднімання чисел в Д-кодах

Всі арифметичні дії в Д-кодах виконуються над операндами за формальними правилами десяткової арифметики, сформульованим вище.

Виникаючі при цьому специфічні особливості доцільно розглянути на конкретних прикладах.

Приклад 5.11. Скласти в коді Д₁ на суматорі доповняльного коду числа

А= - 0.1000 00010 0101 і В= 0.1001 0100 0110.

Розв’язок. Вихідні числа представляються в доповняльному коді і їх зображення складаються:

= 1. 0001 0111 0101

+

0. 1001 0100 0110

1. 1010 1011 1011

+

0110 0110 0110 поправки

= 0.← 0001← 0010← 0001

Відповідь: С=0,0001 0010 0001_Д

Приклад 5.12. Скласти в коді Д₁ на суматорі оберненого коду числа А= ̶0.0100 1000 0111 і В= ̶0.0010 0011 0110.

Розв’язок. Вихідні числа представляються у оберненому коді, і їх зображення складаються:

= 1. 0101 0001 0010

+

1. 0111 0110 0011

+ 0. 1100 0111 0110

0110 0000 0000 поправки

= 1.←0010 ← 0111 ← 0110

При корекції в коді Д₁, ланцюги міжтетрадного перенесення в суматорах не блокуються. Відповідь отримуємо після перетворення результату з оберненого коду.

Відповідь: С=-0,0111 0010 0011_Д.

Приклад 5.13. Скласти в коді Д₂ на суматорі доповняльного коду числа А= ̶0.0000 1101 0011 1011 і В= ̶0.0000 1111 0010 1011.

Розв’язок. Якщо все робити за правилами, то [A]_Д =1, 1111 0010 1100 0101. В останній тетраді отримана заборонена комбінація, що свідчить про необхідність корекції шляхом введення поправки 0110:

0101

Аналогічно для другого числа отримуємо в останній тетраді 1011. Отже,

[А ]_Д= 1. 1111 0010 1100 1011

[В]_Д= 1. 1111 0000 1101 1011

1. ← 1110 ← 0011←1010 ← 0110

0000 0000 1010 1010 поправки

= 1. 1110 0011 0100 0000

Відповідь: С=-0,0001 1100 1100 0000Д_2.

Приклад 5.14. Скласти на суматорі оберненого коду (система Д₂ ) числа А=0,1110 1011 0011Д₂ і В=-0,1100 0100 1011Д₂.

Розв’язок. Спочатку числа записуються в оберненому коді і їх зображення складаються:

= 1. 0011 1011 0100

= 0. 1110 1011 0011

0. ← 0010 ← 0110← 1000

0000 1010 0110 поправки

= 0. 0010 0000 1110

Відповідь: =0,0010 0000 1110Д₂

Пример 5.15. Скласти в коді Д₄ на суматорі оберненого коду числа А= ̶0.1011 1100 0111 1001 і В=0.0011 1000 1001 1010.

Розв’язок. Спочатку числа записуються у оберненому коді і потім складаються зображення:

= 1. 0100 0011 1000 0110

= 0. 0011 1000 1001 1010

1. 0111 1100 ←0010 ← 0000

1101 1101 0011 0011 поправки

= 1. 0100 1001 0100 0011

Розглянуті вище приклади виконання операцій додавання в Д-кодах дозволяють зробити ряд загальних зауважень; корекція результату може здійснюватися автоматично або програмним шляхом, або за допомогою апаратних засобів. Перший метод потребує розробки спеціального блоку управління, а другий - ускладнення схеми власне суматора. Це завдання розробник вирішує в конкретній постановці в залежності від вимог. На практиці частіше використовується схемний метод корекції.

По викладеним вище правилам реалізуються алгоритми складання (віднімання) чисел, представлених у формі з фіксованою комою на спеціальних десяткових суматорах.

Для десяткових чисел з плаваючою комою використовують ту саму методику, що і для двійкових чисел: порядки чисел перед складанням вирівнюються (меншому числу присвоюється порядок більшого числа) і по закінченні операції виробляється нормалізація результату. При цьому з боку молодших розрядів відводиться додаткова тетрада, використовувана при зрушеннях вправо.

Читайте також:

1. Активні операції банків
2. Активні операції банків з цінними паперами
3. Активні операції комерційних банків
4. Активні операції центральних банків.
5. Алгебраїчні операції
6. Аналітико-конструктивні операції
7. Арифметичні дії над дійсними невід’ємними числами. Їхні властивості
8. Арифметичні й логічні вирази в Excel
9. Арифметичні оператори
10. Арифметичні операції
11. Арифметичні операції в різних системах числення
12. Арифметичні операції над цілими числами

Переглядів: 4606