• Гідрологія і Гідрометрія
• Господарське право
• Економіка будівництва
• Економіка природокористування
• Економічна теорія
• Земельне право
• Історія України
• Кримінально виконавче право
• Медична радіологія
• Методи аналізу
• Міжнародне приватне право
• Міжнародний маркетинг
• Основи екології
• Предмет Політологія
• Соціальне страхування
• Технічні засоби організації дорожнього руху
• Товарознавство продовольчих товарів

Теорія електронної поляризації газів

Елементи класичної теорії поляризації діелектриків

Теорія поляризації діелектриків

Тепер повернемось трохи назад, до молекулярної картини поляризації діелектриків, з якої ми починали розгляд цієї великої теми. Ми розглянули на якісному рівні, як саме відбувається поляризація у діелектриках, і розділили її на три типи – електронна, іонна та орієнтаційна поляризації. Нагадаю, що електронна поляризація притаманна всім речовинам, іонна виникає в кристалах з іонним зв’язком (NaCl), орієнтаційна має місце у діелектриках, в яких дипольний момент не наводиться, а існує від природи, за відсутності електричного поля.

Звісно, будь-які процеси на цьому рівні повинні розглядатися з використанням квантової механіки. Хоч ми будемо розглядати тільки класичну теорію поляризації діелектриків, я недаремно оголосила про елементи цієї теорії, оскільки в рамках нашого курсу навіть класична теорія є неосяжною. Подібні теоретичні моделі створювалися в кінці XIX на початку XX століття, коли апарат квантової механіки ще не існував. Вони приводили до задовільного узгодження між теорією і експериментом. Тому розглянемо

Одразу зауважу, що розглядати будемо досить розріджені гази, нам ще не діставало клопоту враховувати міжмолекулярну взаємодію.

Будемо розглядати атоми (або молекули) позбавлені власного дипольного моменту, тобто неполярні.

Задачею створення теорії є знаходження зв’язку діелектричних характеристик речовини (діелектричної проникності і діелектричної сприйнятливості ) з атомними сталими.

При електронній поляризації під дією зовнішнього поля ядро атому зміщується відносно центру негативних зарядів, при цьому атом набуває дипольного моменту . Зміщення ядра припиняється, коли сили, які виникають при зміщенні, врівноважують електричні сили, які діють на заряди у зовнішньому полі. Такі зміщення є невеликими, і можна вважати, що дипольний момент атому залежить від напруженості зовнішнього поля лінійно. Отже, для сферично симетричного атому існує співвідношення

,

де величина є сталою для даного атому, залежить від її будови, і має назву поляризовність атому.

Тоді вектор поляризації

,

де кількість атомів у виділеному об’ємі. Оскільки, з іншого боку, , то діелектрична сприйнятливість

дорівнює сумі поляризовностей атомів виділеного (одиничного) об’єму, а діелектрична проникність визначається через неї як

.

Задача, таким чином, зводиться до знаходження поляризовності атома . Задача є складною і не розв’язується методами класичної фізики, тільки квантової.

Спробуємо зробити досить грубу оцінку. Розглянемо модель найпростішого атому – атому водню Н₂. Будемо вважати, що атом складається з точкового ядра із зарядом (заряд електрона) і електронної хмари, заряд якої . Хмара має форму сфери з радіусом та рівномірно розподіленим по об’єму зарядом густиною

.

Це щось схоже на модель атома Дж.Дж.Томсона.

Якщо зовнішнє поле відсутнє, ядро знаходиться в центрі сфери. При включенні зовнішнього поля , яким в нашому випадку є поле в діелектрику, заряди почнуть зміщуватись. Виберемо систему координат, жорстко пов’язану із негативним зарядом, із центром координат у ядрі за відсутності поля. Тоді в ній ядро зміщується від центру, але тоді на нього починає діяти сила з боку негативного заряду.

Умовою рівноваги є рівність сил тієї, що зміщує заряд при поляризації , і тієї, що діє з боку негативного заряду. У стані рівноваги ядро буде знаходитись від центру сфери на відстані, яка визначається рівнодіючою сил. Поле всередині рівномірно зарядженої сфери дорівнює . Підставляючи значення , маємо

.

Величина у чисельнику являє собою дипольний момент атома . Тоді

,

звідки

.

Зауважимо, що квантово-механічний розрахунок дає для поляризовності величину, яка дорівнює

,

де борівський радіус (середня відстань від електрона до ядра у атомі водню), що добре узгоджується з експериментом.

Проведемо деякі оцінки, щоб перевірити наскільки ми помилились при розрахунках. Оцінимо величину , взявши см; CGSE; CGSE. Одержимо

см,

тобто величину, яка менше розмірів ядра (~см).

Величина поляризовності за нашим розрахунком

см³.

Квантова теорія дає

см³.

Враховуючи грубі припущення, які зроблені при створенні моделі, одержаний результат є достатньо задовільним. Ми не так вже й помилились.

Де саме ми робимо найбільшу помилку ? Ми користувались моделлю із рівномірним розподілом заряду по атому . Насправді треба розв’язувати хвильове рівняння Шрьодінгера

,

де оператор Гамільтона, повна і потенціальна енергія, хвильова функція, за якою розподіл густини заряду визначають як .

При внесенні атома у поле він поляризується. Відбувається зміщення ядра, якому протидіє сила з боку електронної оболонки. Ми вважали, що на зміщене ядро одразу діяла велика сила з боку заряду, що відповідає великій заштрихованій області. Насправді, заряд значно менший (менша заштрихована область), тому сила протидії менша, а отже діелектрик поляризується швидше.

Давайте глянемо на цю ж саму задачу з іншої точки зору.

Сила, яка діє на ядро і вертає його в центр , зростає із збільшенням зміщення . Зауважимо, що наявність сили, пропорційної зміщенню і направленої до положення рівноваги, – умова виникнення гармонічних коливань зарядів одного відносно іншого в атомі. Тому атом можна замінити осцилятором, в якому електрон із зарядом і масою здійснює гармонічні коливання з власною частотою . В цій моделі параметром, який необхідно зовні внести в теорію, є частота власних коливань , а не радіус атому .

Рівняння власних коливань осцилятора за відсутності зовнішньої сили (у нашому випадку – електричного поля) має вигляд

, або ,

де зміщення тіла, що коливається відносно положення рівноваги. Перший доданок – це добуток маси електрону на його прискорення, а другий – це сила, що прагне повернути електрон у вихідний стан. Розв’язком цього рівняння може бути

,

де уявна одиниця.

Якщо на атом діє стала сила, то рівняння коливань змінюється

, або ;

тобто праворуч виникає зовнішня сила, яка у випадку, коли гармонічні коливання здійснює електрон має вигляд .

Якщо нас цікавить статичний випадок, то не залежить від часу. Дія поля зводиться тоді до зміщення положення рівноваги на величину , тому ми можемо знехтувати доданком із прискоренням у рівнянні осциляцій. Тоді

,

звідки

.

Для електронів це зміщення відбувається проти поля (), при цьому атом перетвориться у диполь з моментом

,

тобто поляризовність атома

,

тоді

.

Всі величини добре відомі, величину можна знайти експериментально, вивчаючи спектри поглинання і випромінення атомів, тобто легко можна знайти діелектричну проникність.

Ще ускладнимо задачу і розглянемо випадок, коли електричне поле є змінним і змінюється за гармонічним законом

,

де амплітуда коливань поля, а частота зміни поля, яка у загальному випадку не співпадає із частотою власних коливань осцилятора. Тоді рівняння для коливань електронів буде мати вигляд

.

Шукатимемо розв’язок у вигляді , де амплітуда коливань електрона у змінному полі. Підстановка розв’язку у рівняння дає

,

звідки

.

Розв’язок матиме вигляд

.

Момент диполя атому буде

,

тобто поляризовність атома

,

тоді

.

Отже, діелектрична проникність залежить від частоти, маючи особливу точку при . Графік залежності діелектричної проникності від частоти називається дисперсійною кривою, а всі наші розрахунки – електронна теорія дисперсії. Величина збільшується при зростанні частоти до , при значення . У особливій точці змінює знак, і збільшується від із подальшим зростанням частоти.

Горизонтальною асимптотою є пряма , а вертикальною – .

Прямування до нескінченності значення фізичної величини є не фізичним. Десь ми дали маху.

Розрив неперервності залежності пов’язаний з тим, що в рівнянні для коливального процесу не враховано силу тертя . Не обговорюючи природу цієї сили (ви будете це розглядати в розділі “Оптика” курсу “Загальна фізика”) скористаємось тим, що вона пропорційна швидкості . Тоді рівняння руху

.

Підставивши розв’язок у вже звичному нам вигляді , одержимо

,

звідки

;

у знаменнику у уявній частині масу впхали у множник . Остаточно знаходимо дипольний момент

,

атомарну поляризовність

і діелектричну сталу

.

Тобто діелектрична стала є комплексним числом. Уникаючи комплексного числа в знаменнику, домножимо чисельник і знаменник на комплексно спряжене число, привівши діелектричну сталу до вигляду

,

де

; .

Ці формули знаходять широке застосування в оптиці, оскільки оптичний показник заломлення променів у речовині для більшості матеріалів безпосередньо пов’язаний із її діелектричною проникністю.

Якщо побудувати залежності то побачимо, що дійсна частина діелектричної проникності , яка пов’язана із поляризаційними властивостями речовини, вже не має розриву при , а має ділянку з аномальною залежністю поблизу . Врахована нами зараз уявна частина діелектричної проникності відповідає за поглинання енергії змінного поля і має максимум біля резонансу при .

Про всяк випадок викладка щодо максимуму . Максимум шукаємо з умови

.

Диференціювання дає

.

Прирівнюємо нулю лише чисельник

.

Отримали біквадратне рівняння

, або .

Його розв’язком є

,

звідки остаточно, точка екстремум визначається із співвідношення

.

Отже, підсумуємо наші добутки в теорії електронної поляризації газів. Поступово ускладнюючи задачу, і тим наближаючи її до реальних умов, ми отримали вирази для діелектричної проникності. До неї входить багато фізичних констант, але залежати вона буде від густини газу та частоти осцилятора .

Було б у нас більше часу, ми провели б оцінки діелектричної проникності за нашими формулами для водню (вийде ) і порівняли б з отриманими із квантової механіки. (Хай вас не лякає кількість нулів після коми. У формулі є одиниця, а другий доданок дає решту.) Скажу тільки, що узгодження із квантово-механічним результатом, і з експериментом дуже високе, незважаючи на дуже грубу модель. Наприклад, ми вважали, що атом має тільки одну власну частоту, а в нього їх багато.

Читайте також:

1. E) теорія раціонального вибору.
2. I. Теорія граничної продуктивності і попит на ресурси
3. IV. Закони ідеальних газів.
4. V теорія граничної корисності визначає вартість товарів ступенем корисності останньої одиниці товару для споживача.
5. Аналіз складу газів
6. Балансова теорія визначення статі. Диференціація статі і роль гормонів у цьому процесі.
7. Біхевіоральна теорія
8. В межах наукового підходу існує велика кількість концепцій, але найбільш переконлива – еволюційна теорія.
9. В однакових об'ємах різних газів за однакових умов (температура і тиск) міститься однакова кількість молекул.
10. Взаємозв’язок психодинамічної теорії АСПН з іншими теоріями
11. ВИДИ ПОЛЯРИЗАЦІЇ
12. Газові закони. Суміш газів.

Переглядів: 890