Малюнок №1.1. Зображення універсальної множини.

Порожня, скінченна, нескінченна та універсальна множини. Підмножина. Власні та невласні підмножини даної множини. Рівні та нерівні множини.

2. У математиці розглядають множини, які не містять жодного елемента. Для їхнього позначення використовують спеціальний символ Æ, а називають їх порожніми множинами. Прикладом порожніх множин можуть бути такі: множина людей на Марсі; множина дійсних коренів рівняння х²+3=0. Нехай кількість елементів деякої множини А виражається натуральним числом. Для позначення цієї кількості використовують символ n(А), який читають так: число елементів множини А, або чисельність множини А, або потужність множини А. За кількістю елементів всі множини можна поділити на три групи: 1) порожні множини; 2) скінченні множини – це такі множини, кількість елементів яких можна позначити натуральним числом n(А). Прикладом скінченних множин можуть бути такі: множина цифр десяткової системи числення; множина студентів групи; 3) нескінченні множини – це такі множини, кількість елементів яких не можна виразити натуральним числом. Прикладами нескінченних множин є наступні: множина натуральних чисел; множина дійсних чисел.

Розглянемо кілька множин, які складаються із об’єктів однакової природи, наприклад: множина студентів першого курсу; множина студентів педагогічного факультету РДГУ; множина студентів РДГУ; множина студентів України; множина студентів світу. Як видно із наведеного прикладу, кожна наступна множина включає в себе попередню. Таку множину в математиці називають універсальною й позначають буквою U або інколи – І. Крім того, можна вважати, що існує множина, яка містить в собі всі множини, які тільки існують. По відношенню до однієї і тієї ж множини можна вибрати декілька універсальних множин. Так, для множини студентів другого курсу педагогічного факультету універсальною множиною можуть бути множина всіх студентів факультету, або множина студентів другого курсу РДГУ, або множина студентів м. Рівне. Для наочного зображення універсальної множини використовують прямокутник (див. малюнок № 1.1.).

Розглянемо дві множини А і В, таких, що кожен елемент множини В є елементом множини А, але в множині А є елементи, яких немає в множині В. У цьому випадку говорять, що множина В є підмножиною множини А. Це позначають так: BÌA або АÉВ, а читають: множина В є підмножиною множини А або В включається в А, або А включає В.

Означення: якщо кожен елемент множини В є елементом множини А, але в множині А є хоча б один елемент, яких немає в множині В, то множину В називають власною підмножиною множини А.

Символічно це записують так: BÌA або AÉB. Цей запис означає, що множина В включається в А і, що ці множини перебувають у відношенні включення. Підмножини бувають власні і невласні. Кожна скінченна не порожня множина А має дві невласні підмножини: 1) порожню (Æ); 2) саму себе (А).

Розглянемо деяку скінченну множину. Домовимося позначати множину всіх підмножин множини А символом Р(А), а число елементів множини Р(А) через n(Р(А)). Нехай А={2, 5, 7} і запишемо всі підмножини цієї множини. Це будуть: В₁={2}, В₂={5}, В₃={7}, В₄={2,5}, В₅={2,7}, В₆={5,7}, В₇=Æ, В₈=A={2,5,7}. Підмножини В₁, В₂, В₃, В₄, В₅ і В₆– власні, а В₇ і В₈– невласні. Таким чином, Р(А)={Æ, А, {2}, {5}, {7}, {2,5}, {2,7}, {5,7}}. Отже, множина А, яка містила три елемента, має вісім підмножин. В математиці доведено, що число підмножин будь-якої скінченої множини визначається за формулою: n(p(A))=2^k, де n(p(A)) – число підмножин множини А, k – число елементів множини А, тобто n(A). Оскільки для множини А k=3, то n(p(A))=2³=8.

У теорії множин розглядаються множини, які складаються з одних і тих самих елементів. Про такі множини говорять, що вони рівні.

Означення 1: дві множини А та В називаються рівними, якщо кожна із них є підмножиною іншої, тобто: якщо АÌВ і ВÌА, то А=В.

Означення 2: якщо множини складаються з одних і тих самих елементів, то вони називаються рівними.

Означення 3: якщо кожен елемент множини А є елементом множини В і, навпаки, кожен елемент множини В є елементом множини А, то такі множини називаються рівними.

Як довести, що множина А дорівнює множині В? – показати, що кожен елемент множини А є елементом множини В, і, навпаки, кожен елемент множини В є елементом множини А, або показати, що кожна множина є підмножиною іншої, або показати, що множини складаються з одних і тих самих елементів.

Читайте також:

<== попередня сторінка	\|	наступна сторінка ==>
Поняття множини та її елементу, їхні позначення. Загальноприйняті позначення основних числових множин. Способи задання множин.	\|	Малюнок № 1.2. Круг Л.Ейлера.

Не знайшли потрібну інформацію? Скористайтесь пошуком google:

Генерація сторінки за: 0.005 сек.